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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
L'application U est solution de l'équation résolvante
U'(t) = A(t) o U(t).
Pour tout t E J, A(t) commute avec J, puisque c'est un élément de .Lc(E, E). De plus,
U(t0 ), qui n'est autre que idE, commute aussi avec J. D'après le lemme 4.4, dans lequel
nous faisons A 1 = A, A2 = 0, B = 0 et D = J, pour tout t E J, U(t) commute avec J.
Autrement dit, pour tout t E I (et bien sûr aussi pour tout t0 E J), R(t, t0 ) commute avec
J, donc est élément de .Lrc(E, E).
0
5. Équations. différentielles linéaires homogènes autonomes dans !Rn
5.1. Le problème étudié. - On considère l'équation différentielle
cp'(t) = Acp(t),
où A est une application linéaire continue d'un espace de Banach E dans lui-même.
D'après la proposition 4.1, la résolvante de cette équation est
R(t, to) = exp((t - to)A),
et la solution maximale de cette équation qui prend la valeur x 0 pour t = t0 , définie sur lR
entier, est
cp(t) = exp((t - to)A)xo.
Nous allons voir que lorsque l'espace E est de dimension finie, l'expression de exp(tA),
avec t E IR, peut être précisée.
5.2. Rappels d'algèbre linéaire. - Le lecteur trouvera les démonstrations des quelques
propriétés classiques rappelées ici par exemple dans [3].
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie n, et A un endomorphisme Clinéaire de E. Le polynôme caractéristique de A est, par définition,
IIA(À) = dét(A- ÀidE),
où À est l'indéterminée. Il se décompose en un produit de polynômes élémentaires deux à
deux premiers entre eux,
p
IIA(À) = (-l)n II (À - Àktk,
k=l
où les Àk sont des complexes deux à deux distincts (ce sont les racines du polynôme IIA,
appelées valeurs propres de A). Chaque nk est un entier : : ' . ' . ' . 1 appelé multiplicité de la
valeur propre Àk. Nous avons
Posons, pour chaque k (1 ::::; k ::::; p),
p
Lnk =n.
k=l
Ek = ker(A - Àk idErk.
Chaque Ek est un sous-espace vectoriel de E, de dimension nk, invariant par A (c'està-dire tel que A(Ek) c Ek), et la restriction de A à Ek a pour polynôme caractéristique
(-l)nk (À - Àkrk. De plus, E est somme directe des Ek,
E = EBL1Ek'
ce qui signifie que chaque élément x de E s'exprime, de manière unique, comme une
somme
avec Xk E Ek.
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
L'application U est solution de l'équation résolvante
U'(t) = A(t) o U(t).
Pour tout t E J, A(t) commute avec J, puisque c'est un élément de .Lc(E, E). De plus,
U(t0 ), qui n'est autre que idE, commute aussi avec J. D'après le lemme 4.4, dans lequel
nous faisons A 1 = A, A2 = 0, B = 0 et D = J, pour tout t E J, U(t) commute avec J.
Autrement dit, pour tout t E I (et bien sûr aussi pour tout t0 E J), R(t, t0 ) commute avec
J, donc est élément de .Lrc(E, E).
0
5. Équations. différentielles linéaires homogènes autonomes dans !Rn
5.1. Le problème étudié. - On considère l'équation différentielle
cp'(t) = Acp(t),
où A est une application linéaire continue d'un espace de Banach E dans lui-même.
D'après la proposition 4.1, la résolvante de cette équation est
R(t, to) = exp((t - to)A),
et la solution maximale de cette équation qui prend la valeur x 0 pour t = t0 , définie sur lR
entier, est
cp(t) = exp((t - to)A)xo.
Nous allons voir que lorsque l'espace E est de dimension finie, l'expression de exp(tA),
avec t E IR, peut être précisée.
5.2. Rappels d'algèbre linéaire. - Le lecteur trouvera les démonstrations des quelques
propriétés classiques rappelées ici par exemple dans [3].
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie n, et A un endomorphisme Clinéaire de E. Le polynôme caractéristique de A est, par définition,
IIA(À) = dét(A- ÀidE),
où À est l'indéterminée. Il se décompose en un produit de polynômes élémentaires deux à
deux premiers entre eux,
p
IIA(À) = (-l)n II (À - Àktk,
k=l
où les Àk sont des complexes deux à deux distincts (ce sont les racines du polynôme IIA,
appelées valeurs propres de A). Chaque nk est un entier : : ' . ' . ' . 1 appelé multiplicité de la
valeur propre Àk. Nous avons
Posons, pour chaque k (1 ::::; k ::::; p),
p
Lnk =n.
k=l
Ek = ker(A - Àk idErk.
Chaque Ek est un sous-espace vectoriel de E, de dimension nk, invariant par A (c'està-dire tel que A(Ek) c Ek), et la restriction de A à Ek a pour polynôme caractéristique
(-l)nk (À - Àkrk. De plus, E est somme directe des Ek,
E = EBL1Ek'
ce qui signifie que chaque élément x de E s'exprime, de manière unique, comme une
somme
avec Xk E Ek.