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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
On obtient alors, pour t voisin de 0,
tf'(x)(y - x) + tllY - xjjé(t) $ t{J(y) - f(x)),
soit, après division par t et en faisant tendre t vers 0, avec t > 0,
f'(x)(y - x) $ f(y) - f(x).
Réciproquement, supposons que pour tout (x, y) E U x U,
f(x) + f'(x)(y- x) $ f(y).
Soit (x,y) E U x U fixé. Pour tout t E [O, lj, l'inégalité(*) donne (remplacer dans(*) y par x et x par
x+t(y-x)),
tf'(x + t(y- x))(y- x) 2 f(x + t(y-x)) -f(x).
Introduisons l'application <.p : [O, 1] -> IR, ip(t) = f ( x + t(y - x)) - f(x). Cette application est dérivable
sur [ü, lj etapourdérivéeip'(t) = f'(x + t(y -x))(y- x). L'inégalité(**) s'écrit alors tip'(t) 2 ip(t), ce
qui montre qu'en tout t E ]0, 1[, la dérivée de l'application t ,_. ip(t)/t est 2 0, donc que cette application est
croissante sur JO, 1[. Cela permet d'écrire, pour tout t E [O, l], ip(t) $ t<.p(l), ou encore
f(x + t(y-x)) - f(x) $ t{J(y)-f(x)).
Finalement on a bien prouvé que f est convexe dans U si et seulement si, pour tout (x, y) E U x U, l'inégalité
( *) est vérifiée.
2 a) Soit x E U eth E E. Il existe un intervalle ouvert Ide IR contenant 0 tel que, pour tout t E I, x +th E U.
L'application f étant deux fois différentiable sur U, la forme asymptotique de la formule de Taylor à l'ordre 2
au point x permet d'écrire, pour t E /,
t2
f(x +th) - f(x) - tf'(x)(h) = - f"(x)(h, h) + o(lt1 2 ).
2
Mais d'après 1, f(x +th) - f(x) 2 f'(x)(th), donc (t 2 /2)f 11 (x)(h,h) + o(jtj 2 ) 2 O. Divisons, pour
t E I, t =P 0, les deux menbres de cette inégalité par t 2 , puis faisons tendre t vers 0, en remarquant que
limt_,O,t;éO t- 2 o(lt1 2 ) =O. Nous obtenons f" (x)(h, h) 2 O.
Ainsi, pour tout x E U et tout h E E, f" (x)(h, h) 2 O.
2b) Soient x et y E U. Appliquons à fla formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2:
f(y) - f(x) - J'(x)(y - :c) = 1
1 (1 - t)f" (x + t(y - x)) (y - x, y - x) dt.
Mais on sait que pour tout x E U et tout h E E, f" ( x) ( h, h) 2 0, ce qui entraîne en particulier que
J 0
1 (1 - t)f" (x + t(y - x)) (y - x, y - x) dt 2 0, donc que J(y) - f(x) 2 f'(x)(y - x). Ainsi, f est
convexe sur U.
3) Soit a E U tel que f'(a) = O. L'application f étant convexe sur U on a, pour tout x E U,
f(x) 2 f(a) - f'(a)(x - a), ce qui sécrit aussi f(x) 2 f(a). Donc f admet un minimum absolu en
a.
4) L'application f : !Rn -> IR, f (X) = (1/2)(AXIX) - (BIX), est différentiable sur !Rn car les applications
X,_. (AXIX) et X,_. (BIX) le sont: la seconde est linéaire, la première est composée de X,_. (AX, X),
définie sur !Rn, qui est linéaire, et de (X, Y) ,_. (XIY), définie sur !Rn x !Rn, qui est bilinéaire. On calcule la
différentielle de f en un point X à laide de la formule de dérivation des fonctions composées et on obtient, pour
tout HE !Rn,
f'(X)(H) = ~ (AXIH) + ~ (AHIX) - (BIH) = (AX - BIH),
2
2
car A étant symétrique, (AXIH) = (AHIX). Or f est convexe sur !Rn si et seulement si, pour tous X et
Y E !Rn, f(Y) - f(X) - f'(X)(Y - X) 2 0, soit encore, si et seulement si, pour tous X et Y E !Rn,
~ (AYIY) - (BIY) - ~(AXIX) + (BIX) - (AX - BIY - X) 2 o.