§ 8. Solutions
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est normalement convergente pour x E [-y, y]; comme elle est à valeurs dans l'espace complet E, elle converge
dans E. Il reste à montrer qu'elle a pour somme f (x ). La formule de Taylor-Lagrange appliquée à f à l'ordre p
donne
p
Il _"""' _.!._ (k) 0
I l < { M(y 2 K)"
si p = 2n - 1,
f(x) ~ k! f ( )(x, · · · 'x) - M(y 2 K)n + 2M(n + l)(y2 K)n+l si p = 2n.
k=O
Dans tous les cas, le second membre a pour limite 0 quand p-> oo donc, pour tout x E [-y, y].
Solution III.5.
OO
"""'~ f(n)(O)(x, ... ,x) = f(x) ·
~n!
n=O
1) L'application t >----> f(t)/(t - a) est définie et différentiable sur ]a, b[. Sa dérivée (au sens usuel) se calcule
en remarquant que cette application est la composée des applications t >----> (f (t), 1/(t- a)), définie sur ]a, b[,
et (x, u) >----> ux, bilinéaire continue, définie sur Ex R On obtient
d ( f(t))
f(t)
f'(t)
dt t - a = - (t - a)2 + (t - a) ·
D'autre part, la formule de Taylor-Lagrange appliquée à f entre deux points u et t de ]a, b[ donne
llJ(u) -f(t) - (u- t)f'(t)ll S (u- t)
2 sup llJ'(z)ll S (u- t)
2 k.
2
zE(u,t)
2
L'application f est continue en a, et f(a) = O; on obtient alors, par passage à la limite lorsque u-> a,
11-f(t)-(a-t)f'(t)ll S (a~t)2 k,
soit en divisant les deux membres de cette inégalité par ( t - a ) 2 ,
2) Montrons que les applications cp : t >----> f(t)/(t - a) et 1/J : t >----> f(t)/(t - b), admettent une limite,
respectivement en a et en b. En appliquant à cp le théorème des accroissements finis entre deux points u et v de
]a, b[ on obtient, compte tenu du résultat de 1,
llcp(u) - cp(v)ll S ~ llu - vil,
ce qui prouve que cp est lipschitzienne sur ]a, b[. Toute suite (un, n E N) de points de ]a, b[ qui converge
vers a est de Cauchy. L'inégalité ( *) montre que la suite ( cp( Un)) est aussi de Cauchy. Prenant ses valeurs dans
l'espace complet E, elle converge donc. De plus, si deux suites (un, n E N) et (vn, n E N) ont pour limite
a, l'inégalité ( *) montre que les suites ( cp(un)) et ( cp(vn)) ont la même limite. On peut donc prolonger par
continuité l'application cp au point a en posant cp(a) = limn_,+ 00 cp(un). où (un) est une suite quelconque de
points de ]a, b[ qui converge vers a. Le même raisonnement permet de prolonger par continuité l'application 1/J
au point b. Ainsi, l'application g : ]a, b[-> E, g(t) = f(t)/ ( (t - a)(t - b)), admet un prolongement continu
sur [a, b].
Solution III.6.
1) Supposons f convexe sur l'ouvert convexe U. Soient x, y E U. On sait alors que pour tout t E [O, l],
f(x + t(y- x)) S f(x) + t(f(y) -f(x)).
Mais f est différentiable au point x, donc il existe une application E définie au voisinage de 0, continue en ce
point, telle que e(O) = 0 et que
f(x + t(y- x)) = f(x) + tf'(x)(y-x) + tl!y -xlle(t).
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est normalement convergente pour x E [-y, y]; comme elle est à valeurs dans l'espace complet E, elle converge
dans E. Il reste à montrer qu'elle a pour somme f (x ). La formule de Taylor-Lagrange appliquée à f à l'ordre p
donne
p
Il _"""' _.!._ (k) 0
I l < { M(y 2 K)"
si p = 2n - 1,
f(x) ~ k! f ( )(x, · · · 'x) - M(y 2 K)n + 2M(n + l)(y2 K)n+l si p = 2n.
k=O
Dans tous les cas, le second membre a pour limite 0 quand p-> oo donc, pour tout x E [-y, y].
Solution III.5.
OO
"""'~ f(n)(O)(x, ... ,x) = f(x) ·
~n!
n=O
1) L'application t >----> f(t)/(t - a) est définie et différentiable sur ]a, b[. Sa dérivée (au sens usuel) se calcule
en remarquant que cette application est la composée des applications t >----> (f (t), 1/(t- a)), définie sur ]a, b[,
et (x, u) >----> ux, bilinéaire continue, définie sur Ex R On obtient
d ( f(t))
f(t)
f'(t)
dt t - a = - (t - a)2 + (t - a) ·
D'autre part, la formule de Taylor-Lagrange appliquée à f entre deux points u et t de ]a, b[ donne
llJ(u) -f(t) - (u- t)f'(t)ll S (u- t)
2 sup llJ'(z)ll S (u- t)
2 k.
2
zE(u,t)
2
L'application f est continue en a, et f(a) = O; on obtient alors, par passage à la limite lorsque u-> a,
11-f(t)-(a-t)f'(t)ll S (a~t)2 k,
soit en divisant les deux membres de cette inégalité par ( t - a ) 2 ,
2) Montrons que les applications cp : t >----> f(t)/(t - a) et 1/J : t >----> f(t)/(t - b), admettent une limite,
respectivement en a et en b. En appliquant à cp le théorème des accroissements finis entre deux points u et v de
]a, b[ on obtient, compte tenu du résultat de 1,
llcp(u) - cp(v)ll S ~ llu - vil,
ce qui prouve que cp est lipschitzienne sur ]a, b[. Toute suite (un, n E N) de points de ]a, b[ qui converge
vers a est de Cauchy. L'inégalité ( *) montre que la suite ( cp( Un)) est aussi de Cauchy. Prenant ses valeurs dans
l'espace complet E, elle converge donc. De plus, si deux suites (un, n E N) et (vn, n E N) ont pour limite
a, l'inégalité ( *) montre que les suites ( cp(un)) et ( cp(vn)) ont la même limite. On peut donc prolonger par
continuité l'application cp au point a en posant cp(a) = limn_,+ 00 cp(un). où (un) est une suite quelconque de
points de ]a, b[ qui converge vers a. Le même raisonnement permet de prolonger par continuité l'application 1/J
au point b. Ainsi, l'application g : ]a, b[-> E, g(t) = f(t)/ ( (t - a)(t - b)), admet un prolongement continu
sur [a, b].
Solution III.6.
1) Supposons f convexe sur l'ouvert convexe U. Soient x, y E U. On sait alors que pour tout t E [O, l],
f(x + t(y- x)) S f(x) + t(f(y) -f(x)).
Mais f est différentiable au point x, donc il existe une application E définie au voisinage de 0, continue en ce
point, telle que e(O) = 0 et que
f(x + t(y- x)) = f(x) + tf'(x)(y-x) + tl!y -xlle(t).