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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
plus f(Ua). étant un voisinage ouvert de f(a), contient une boule ouverte Ba de centre f(a). L'ensemble
Va = Ua n 1- 1 (Ba) est un ouvert contenant a, tel que Va C Ua et que f soit un C 1 --difféomorphisme de
Va sur Ba. On désigne par 1- 1 sa bijection réciproque, qui est donc ici définie sur Ba. On sait que, pour tout
u E Ba. (f- 1 )'(u) = (!' (!- 1 (u)) )1 • ce qui entraîne 11(!- 1 )'(u)ll = llf'(f- 1 (u))ll = 1.
Soient maintenant x et y E Va. Les points u = f(x) et v = f(y) sont deux points de l'ouvert convexe Ba.
L'application du théorème des accroissement finis à 1- 1 entre u et v donne alors Il!- 1 ( u )-1- 1 ( v) Il ::; JI u-v 11.
ce qui s'écrit encore llx - Yll S llf(x) - f(y)ll.
Finalement, pour tous x et y E Va. llf(x) - f(y)ll = llx - Yll·
4) Pour tous x et y E Va. on a donc llf(x) - f(y)ll 2 = llx - Yll 2 . Les applications g et question 1 coïncident sur Va X Va. donc pour tous x et y E Va. g~ y(x, y) =
5) Soient x et y E Va. h E !Rn. On développe l'expression de llf'(x) h - f'(y) hll 2 en utilisant la bilinéarité
du produit scalaire et la propriété établie dans la question 4. On obtient llf'(x) h - f'(y) hll 2 = 0, soit
f'(x) h = f'(y) h. Donc, pour x et y E Va. f'(x) =!'(y).
Soit a E !Rn et n = { x E !Rn ; f'(x) = f'(a) }. L'ensemble n n'est pas vide car il contient a; il est ouvert
car si x E n, il existe un voisinage ouvert Vx de x tel qu'en tout point y E Vx, f' (y) = f' ( x) = f' (a), ce qui
entraîne Vx C n; il est fermé, puisqu'il est image réciproque du fermé { f' (a)} par lapplication continue f'.
L'espace !Rn étant connexe, on a nécessairement n =!Rn, autrement dit, f' est constante sur !Rn.
6) D'après la question 5, la différentielle de l'application x ,_. f(x) - f'(O)(x) est identiquement nulle.
Cette application est donc constante sur !Rn, sa valeur en tout point est égale à sa valeur à l'origine O. Ainsi,
pour tout x E !Rn, f(x) = f'(O)(x) + f(O). On a donc bien, pour tout x E !Rn, f(x) = A(x) + b, avec
A = f' (0) E .C(!Rn, !Rn) et b = f (0) E !Rn, et pourtout h E !Rn, llA(h)ll = llhll·
Solution III.4.
1) Soit x E [-y, y]. Utilisons la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre x et y, puis entre x et -y. Nous
obtenons
d'où
Jlf(y) - f(x) - J'(x)(y- x)ll S ~ B(y - x) 2 ,
11!(-y) - f(x) + !'(x)(y + x)ll S ~ B(y + x) 2 ,
llf(y) - !(-y) - 2f'(x)(y)ll S llf(y) - f(x) - J'(x)(y - x)ll + 11!(-y) - f(x) + !'(x)(y + x)ll
1
S 2 B((y-x)2 +(y+ x)2) S B(y2 +x2)'
soit encore 211!' (x)(y)ll S Il! (y) - f (-y)ll + B(y 2 + x 2 ) S 2A + 2By 2 . Mais Il!' (x)(y) 11 = Yllf' (x) 11
car f' (x) est linéaire et y > O. On obtient finalement, après division par y de l'inégalité obtenue : pour tout
x E [-y, yJ, llf'(x)ll SA/y+ By.
2 a) Soit n E N et x E [-y, y]. Appliquons à la fonction f < 2 nl les résultats de 1. Pour tout x E [-y, y], on a
2 b) On suppose que y vérifie y 2 K < 1. Pour n EN et x E [-y, y], on a
Les séries de terme général (y 2 K)n et (n + l)(y 2 K)n+l étant convergentes, la série
OO
"""'.!_ f(n)(O)(x, .. .,x)
L..t n!
n=O
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
plus f(Ua). étant un voisinage ouvert de f(a), contient une boule ouverte Ba de centre f(a). L'ensemble
Va = Ua n 1- 1 (Ba) est un ouvert contenant a, tel que Va C Ua et que f soit un C 1 --difféomorphisme de
Va sur Ba. On désigne par 1- 1 sa bijection réciproque, qui est donc ici définie sur Ba. On sait que, pour tout
u E Ba. (f- 1 )'(u) = (!' (!- 1 (u)) )1 • ce qui entraîne 11(!- 1 )'(u)ll = llf'(f- 1 (u))ll = 1.
Soient maintenant x et y E Va. Les points u = f(x) et v = f(y) sont deux points de l'ouvert convexe Ba.
L'application du théorème des accroissement finis à 1- 1 entre u et v donne alors Il!- 1 ( u )-1- 1 ( v) Il ::; JI u-v 11.
ce qui s'écrit encore llx - Yll S llf(x) - f(y)ll.
Finalement, pour tous x et y E Va. llf(x) - f(y)ll = llx - Yll·
4) Pour tous x et y E Va. on a donc llf(x) - f(y)ll 2 = llx - Yll 2 . Les applications g et question 1 coïncident sur Va X Va. donc pour tous x et y E Va. g~ y(x, y) =
5) Soient x et y E Va. h E !Rn. On développe l'expression de llf'(x) h - f'(y) hll 2 en utilisant la bilinéarité
du produit scalaire et la propriété établie dans la question 4. On obtient llf'(x) h - f'(y) hll 2 = 0, soit
f'(x) h = f'(y) h. Donc, pour x et y E Va. f'(x) =!'(y).
Soit a E !Rn et n = { x E !Rn ; f'(x) = f'(a) }. L'ensemble n n'est pas vide car il contient a; il est ouvert
car si x E n, il existe un voisinage ouvert Vx de x tel qu'en tout point y E Vx, f' (y) = f' ( x) = f' (a), ce qui
entraîne Vx C n; il est fermé, puisqu'il est image réciproque du fermé { f' (a)} par lapplication continue f'.
L'espace !Rn étant connexe, on a nécessairement n =!Rn, autrement dit, f' est constante sur !Rn.
6) D'après la question 5, la différentielle de l'application x ,_. f(x) - f'(O)(x) est identiquement nulle.
Cette application est donc constante sur !Rn, sa valeur en tout point est égale à sa valeur à l'origine O. Ainsi,
pour tout x E !Rn, f(x) = f'(O)(x) + f(O). On a donc bien, pour tout x E !Rn, f(x) = A(x) + b, avec
A = f' (0) E .C(!Rn, !Rn) et b = f (0) E !Rn, et pourtout h E !Rn, llA(h)ll = llhll·
Solution III.4.
1) Soit x E [-y, y]. Utilisons la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre x et y, puis entre x et -y. Nous
obtenons
d'où
Jlf(y) - f(x) - J'(x)(y- x)ll S ~ B(y - x) 2 ,
11!(-y) - f(x) + !'(x)(y + x)ll S ~ B(y + x) 2 ,
llf(y) - !(-y) - 2f'(x)(y)ll S llf(y) - f(x) - J'(x)(y - x)ll + 11!(-y) - f(x) + !'(x)(y + x)ll
1
S 2 B((y-x)2 +(y+ x)2) S B(y2 +x2)'
soit encore 211!' (x)(y)ll S Il! (y) - f (-y)ll + B(y 2 + x 2 ) S 2A + 2By 2 . Mais Il!' (x)(y) 11 = Yllf' (x) 11
car f' (x) est linéaire et y > O. On obtient finalement, après division par y de l'inégalité obtenue : pour tout
x E [-y, yJ, llf'(x)ll SA/y+ By.
2 a) Soit n E N et x E [-y, y]. Appliquons à la fonction f < 2 nl les résultats de 1. Pour tout x E [-y, y], on a
2 b) On suppose que y vérifie y 2 K < 1. Pour n EN et x E [-y, y], on a
Les séries de terme général (y 2 K)n et (n + l)(y 2 K)n+l étant convergentes, la série
OO
"""'.!_ f(n)(O)(x, .. .,x)
L..t n!
n=O