§ 8. Solutions
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soit, en définitive,
aF =~(ac+ ac) oip,
ôx
2au
av
aF =~(ac_ ac) oip.
ay
2au
av
On déduit l'expression des dérivées partielles secondes de Fen fonction de celles de C, les dérivées partielles
aF
.
aF
par rapport à x et y de ax, respectivement, de ay, s'obtenant en remplaçant, dans les formules précédentes,
aF
.
aF
F par ax , respectivement, par ay . Le calcul donne
a 2 F 1 (a 2 c
a 2 c
a 2 a)
-- = - -- +2-- + -- otp,
ax2
4 au2
auav
av2
a 2 F i(a 2 c
a 2 c a 2 c)
ay2 = 4 au2 - 2 auav + av2 ° 'P'
d'où finalement
a 2 F a 2 F a 2 c
- - - - - = - - o t p .
ax 2
ay 2
auav
a 2 F a 2 F
a 2 c
L'équation - - 2 - - - 2 = 0 est donc équivalente à l'équation - - o 'P = 0, soit encore à
ax
ay
auav
a 2 c
- - = O .
au av
Les solutions de classe C 2 de cette équation sont les fonctions de la forme C(u, v) = f(u) + g(v), où f et g
sont des fonctions de classe C 2 définies sur IR.
Les fonctions F solutions de l'équation initiale, vérifiant F = C o tp, sont donc les fonctions de la forme
F(x,y) = f((x+y)/2) +g((x-y)/2).
Solution III.3.
1) Soit x E !Rn fixé. On considère l'application 9x : y ,_. g(x, y) = llf(x) - f(y)ll 2 . Elle est composée
de l'application y ,___. (f(x) - f(y),f(x) - f(y)). de classe ci, et de l'application bilinéaire continue
(u,v) ,_. (ulv), définie sur !Rn x !Rn, qui est de classe C 00 • La différentielle partielle g~(x,y), étant la
différentielle de 9x au point y, est donnée par la formule de dérivation des fonctions composées. Pour tout
g~(x,y) (k) = -2(f(x) -f(y) 1 f'(y)(k)).
Soit maintenant y E !Rn fixé. L'application x ,_. g~(x, y) est la composée de l'application x ,_. f(x) - f(y),
de classe ci, et de l'application f, qui, à u E !Rn, associe l'endomorphisme f.(u) E .C(!Rn, !Rn), ayant pour
expression k ,_. f.(u)(k) = -2(u 1 f'(y)(k)). On vérifie que f, est linéaire, donc continue et de classe
C 00 puisqu'elle est définie sur un espace de dimension finie. L'application g admet donc une différentielle
partielle seconde g~ y(x, y), qui est la différentielle au point x de l'application x ,_. g~(x, y). Appliquée à
(h, k) E !Rn x !Rn, elle a pour expression
g~ y(x, y)(h, k) = -2(! 1 (x)(h) 1 f' (y)(k)) .
En particulier, en prenant pour fl'application identique de IR. 2 , on voit que l'application 'P : (x, y) ,_. llx -yll 2 ,
définie sur !Rn x !Rn, admet en tout point une différentielle partielle seconde 'P~ y(x, y), ayant pour expression
'P~ y(x, y)(h, k) = -2(hlk).
2) Puisque, pour tout x E !Rn et tout h E !Rn, llf'(x)(h)ll = llhll. pour tout x E !Rn, llf'(x)ll = 1. En
appliquant le théorème des accroissements finis à f entre deux points x et y E !Rn (voir I.5.3), on obtient
llf(x) - f(y)ll ~ llx -yll.
3) D'après l'hypothèse faite surf, pour tout x E !Rn, f'(x) est injective, donc est un isomorphisme de
!Rn. On peut alors appliquer à f le théorème d'inversion locale II.2.4, au voisinage d'un point a E !Rn.
Il existe donc un voisinage ouvert Ua de a tel que f soit un ci-difféomorphisme de Ua sur f (Ua). De
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soit, en définitive,
aF =~(ac+ ac) oip,
ôx
2au
av
aF =~(ac_ ac) oip.
ay
2au
av
On déduit l'expression des dérivées partielles secondes de Fen fonction de celles de C, les dérivées partielles
aF
.
aF
par rapport à x et y de ax, respectivement, de ay, s'obtenant en remplaçant, dans les formules précédentes,
aF
.
aF
F par ax , respectivement, par ay . Le calcul donne
a 2 F 1 (a 2 c
a 2 c
a 2 a)
-- = - -- +2-- + -- otp,
ax2
4 au2
auav
av2
a 2 F i(a 2 c
a 2 c a 2 c)
ay2 = 4 au2 - 2 auav + av2 ° 'P'
d'où finalement
a 2 F a 2 F a 2 c
- - - - - = - - o t p .
ax 2
ay 2
auav
a 2 F a 2 F
a 2 c
L'équation - - 2 - - - 2 = 0 est donc équivalente à l'équation - - o 'P = 0, soit encore à
ax
ay
auav
a 2 c
- - = O .
au av
Les solutions de classe C 2 de cette équation sont les fonctions de la forme C(u, v) = f(u) + g(v), où f et g
sont des fonctions de classe C 2 définies sur IR.
Les fonctions F solutions de l'équation initiale, vérifiant F = C o tp, sont donc les fonctions de la forme
F(x,y) = f((x+y)/2) +g((x-y)/2).
Solution III.3.
1) Soit x E !Rn fixé. On considère l'application 9x : y ,_. g(x, y) = llf(x) - f(y)ll 2 . Elle est composée
de l'application y ,___. (f(x) - f(y),f(x) - f(y)). de classe ci, et de l'application bilinéaire continue
(u,v) ,_. (ulv), définie sur !Rn x !Rn, qui est de classe C 00 • La différentielle partielle g~(x,y), étant la
différentielle de 9x au point y, est donnée par la formule de dérivation des fonctions composées. Pour tout
g~(x,y) (k) = -2(f(x) -f(y) 1 f'(y)(k)).
Soit maintenant y E !Rn fixé. L'application x ,_. g~(x, y) est la composée de l'application x ,_. f(x) - f(y),
de classe ci, et de l'application f, qui, à u E !Rn, associe l'endomorphisme f.(u) E .C(!Rn, !Rn), ayant pour
expression k ,_. f.(u)(k) = -2(u 1 f'(y)(k)). On vérifie que f, est linéaire, donc continue et de classe
C 00 puisqu'elle est définie sur un espace de dimension finie. L'application g admet donc une différentielle
partielle seconde g~ y(x, y), qui est la différentielle au point x de l'application x ,_. g~(x, y). Appliquée à
(h, k) E !Rn x !Rn, elle a pour expression
g~ y(x, y)(h, k) = -2(! 1 (x)(h) 1 f' (y)(k)) .
En particulier, en prenant pour fl'application identique de IR. 2 , on voit que l'application 'P : (x, y) ,_. llx -yll 2 ,
définie sur !Rn x !Rn, admet en tout point une différentielle partielle seconde 'P~ y(x, y), ayant pour expression
'P~ y(x, y)(h, k) = -2(hlk).
2) Puisque, pour tout x E !Rn et tout h E !Rn, llf'(x)(h)ll = llhll. pour tout x E !Rn, llf'(x)ll = 1. En
appliquant le théorème des accroissements finis à f entre deux points x et y E !Rn (voir I.5.3), on obtient
llf(x) - f(y)ll ~ llx -yll.
3) D'après l'hypothèse faite surf, pour tout x E !Rn, f'(x) est injective, donc est un isomorphisme de
!Rn. On peut alors appliquer à f le théorème d'inversion locale II.2.4, au voisinage d'un point a E !Rn.
Il existe donc un voisinage ouvert Ua de a tel que f soit un ci-difféomorphisme de Ua sur f (Ua). De