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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
3) Donner une interprétation géométrique des résultats. [On pourra déterminer l'équation
de la courbe C en coordonnées polaires].
Exercice III.12.
On munit JR.n de son produit scalaire euclidien usuel, noté (x, y) t--t
(xly). Soit A E .C(lR.n,lR.n) un endomorphisme symétrique de JR.n, c'est-à-dire tel que
pour tous x et y E lR.n, (Axly) = (xlAy). Pour tout x E lR.n, on pose f(x) = (Axlx).
1) On note S la sphère unité, ensemble des points x E lR.n tels que (xlx) = 1. Montrer
que les points de S où la fonction f admet un extremum relatif sont des vecteurs propres
de A. Réciproquement, que peut-on dire des vecteurs propres de A?
2) On suppose l'application linéaire symétrique A définie positive, c'est-à-dire telle que,
pour tout x E lR.n - {O}, f(x) = (Axlx) >O. Soit Q l'ensemble des points x de JR.n tels
que f(x) = 1, et z un élément non nul de JR.n. Déterminer les points de Q où la forme
linéaire x t--t ( zlx) admet un extremum relatif. Donner une interprétation géométrique du
résultat. [Voir exercice 7 du chapitre I].
Exercice III.13.
On muni JR. 3 de la distance associée à la norme euclidienne. Soit A
l'ensemble des points (x, y, z) de JR. 3 qui vérifient z 2 + xy = 0 et x 2 + y 2 = 1. Déterminer
les points de A les plus proches de (0, 0, 0).
8. Solutions
Solution III.1.
Soit x E E et fx : IR -+ F l'application fx(t) = f(tx). On introduit l'application
cp: IR-+ E, cp(t) = tx. L'application f x est l'application composée fx = f o cp. L'application cp est linéaire
continue, donc de classe C 2 , par suite fx l'est aussi. Calculons la dérivée première de fx ·en un point t E IR
à laide du théorème de dérivation des fonctions composées (la dérivée calculée ici est la dérivée au sens usuel
puisque la fonction considérée est définie sur IR) :
f ~ ( t) = D f ( cp ( t)) ( cp' ( t)) = D f ( tx) ( x) .
Calculons la dérivée seconde (au sens usuel) de f x au point t, en remarquant que f~
h: C(E, F) -+Fest l'application linéaire continue h(l) = l(x). On obtient
J:;(t) =Dh(f(tx)) oD 2 f(tx)(cp'(t)) =D 2 f(tx)(x,x).
ho Df o cp, où
Soit, toujours pour x E E fixé, 9x : IR -+ F l'application 9x(t) = t 2 f(x). Calculons successivement les
dérivées première puis seconde de 9x en un point t E R On remarque que 9x est la composée des applications
t >--> t 2 et u >--> uf(x), définies et différentiables sur R On obtient alors g~(t) = 2tf(x). L'application g~
étant alors composée des applications différentiables t >--> 2t et u >--> uf(x), lc calcul donne g~(t) = 2f(x).
Or pour x E E fixé, l'application f est telle que, pour tout t E IR, f(tx) = t 2 f(x). Les calculs précédents
montrent alors que pour tout t E IR, D 2 f(tx)(x, x) = 2f(x). Ce résultat est en particulier vrai lorsque t = 0
etonobtientD 2 f(O)(x,x) = 2f(x).
Solution III.2. L'application cp est linéaire, bijective d'inverse cp- 1 = cp, c'estdonc un C 00 -difféomorphisme
deIR 2 surIR 2 .
Si F : IR 2 -+ IR est de classe C 2 , l'application G = F o cp l'est aussi. De plus, F = G o cp. La
différentielle de Fen (x, y) E IR 2 s'obtient alors par la formule de dérivation des fonctions composées :
DF(x, y) = DG ( cp(x, y)) o Dcp(x, y), soit en revenant aux matrices jacobiennes des applications linéaires
concernées:
On obtient
aF
i(ac
ac
)
ax (x,y) = 2 au ocp(x,y) +av ocp(x,y) '
aF
i(ac
ac
)
ay (x, y) = 2 au 0 cp(x, y) - av 0 cp(x, y) '
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
3) Donner une interprétation géométrique des résultats. [On pourra déterminer l'équation
de la courbe C en coordonnées polaires].
Exercice III.12.
On munit JR.n de son produit scalaire euclidien usuel, noté (x, y) t--t
(xly). Soit A E .C(lR.n,lR.n) un endomorphisme symétrique de JR.n, c'est-à-dire tel que
pour tous x et y E lR.n, (Axly) = (xlAy). Pour tout x E lR.n, on pose f(x) = (Axlx).
1) On note S la sphère unité, ensemble des points x E lR.n tels que (xlx) = 1. Montrer
que les points de S où la fonction f admet un extremum relatif sont des vecteurs propres
de A. Réciproquement, que peut-on dire des vecteurs propres de A?
2) On suppose l'application linéaire symétrique A définie positive, c'est-à-dire telle que,
pour tout x E lR.n - {O}, f(x) = (Axlx) >O. Soit Q l'ensemble des points x de JR.n tels
que f(x) = 1, et z un élément non nul de JR.n. Déterminer les points de Q où la forme
linéaire x t--t ( zlx) admet un extremum relatif. Donner une interprétation géométrique du
résultat. [Voir exercice 7 du chapitre I].
Exercice III.13.
On muni JR. 3 de la distance associée à la norme euclidienne. Soit A
l'ensemble des points (x, y, z) de JR. 3 qui vérifient z 2 + xy = 0 et x 2 + y 2 = 1. Déterminer
les points de A les plus proches de (0, 0, 0).
8. Solutions
Solution III.1.
Soit x E E et fx : IR -+ F l'application fx(t) = f(tx). On introduit l'application
cp: IR-+ E, cp(t) = tx. L'application f x est l'application composée fx = f o cp. L'application cp est linéaire
continue, donc de classe C 2 , par suite fx l'est aussi. Calculons la dérivée première de fx ·en un point t E IR
à laide du théorème de dérivation des fonctions composées (la dérivée calculée ici est la dérivée au sens usuel
puisque la fonction considérée est définie sur IR) :
f ~ ( t) = D f ( cp ( t)) ( cp' ( t)) = D f ( tx) ( x) .
Calculons la dérivée seconde (au sens usuel) de f x au point t, en remarquant que f~
h: C(E, F) -+Fest l'application linéaire continue h(l) = l(x). On obtient
J:;(t) =Dh(f(tx)) oD 2 f(tx)(cp'(t)) =D 2 f(tx)(x,x).
ho Df o cp, où
Soit, toujours pour x E E fixé, 9x : IR -+ F l'application 9x(t) = t 2 f(x). Calculons successivement les
dérivées première puis seconde de 9x en un point t E R On remarque que 9x est la composée des applications
t >--> t 2 et u >--> uf(x), définies et différentiables sur R On obtient alors g~(t) = 2tf(x). L'application g~
étant alors composée des applications différentiables t >--> 2t et u >--> uf(x), lc calcul donne g~(t) = 2f(x).
Or pour x E E fixé, l'application f est telle que, pour tout t E IR, f(tx) = t 2 f(x). Les calculs précédents
montrent alors que pour tout t E IR, D 2 f(tx)(x, x) = 2f(x). Ce résultat est en particulier vrai lorsque t = 0
etonobtientD 2 f(O)(x,x) = 2f(x).
Solution III.2. L'application cp est linéaire, bijective d'inverse cp- 1 = cp, c'estdonc un C 00 -difféomorphisme
deIR 2 surIR 2 .
Si F : IR 2 -+ IR est de classe C 2 , l'application G = F o cp l'est aussi. De plus, F = G o cp. La
différentielle de Fen (x, y) E IR 2 s'obtient alors par la formule de dérivation des fonctions composées :
DF(x, y) = DG ( cp(x, y)) o Dcp(x, y), soit en revenant aux matrices jacobiennes des applications linéaires
concernées:
On obtient
aF
i(ac
ac
)
ax (x,y) = 2 au ocp(x,y) +av ocp(x,y) '
aF
i(ac
ac
)
ay (x, y) = 2 au 0 cp(x, y) - av 0 cp(x, y) '