§ 7. Exercices
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Exercice III.8.
Soit f: ]O, +oo[ x JO, +oo[ ---7 IR. l'application
xy
f(x, y) = (x + l)(y + l)(x +y) ·
Montrer que f admet un maximum absolu et le déterminer.
Exercice III.9.
Soit f : JR.+ ---7 lR. et cp : IR. 3 ---7 lR. les deux applications
f(u) = (u - 1) 2 (u + 1),
cp(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xy - xz.
1) Soit u 2 O. Montrer que f' ( u) = 0 si et seulement si u = 1.
2) Montrer que cp est une forme quadratique définie positive. En déduire les points de JR. 3
où cp s'annule.
3) Soit F = f ~ cp. Montrer qu'un élément a de JR. 3 est un point critique de F (c'est-à-dire
vérifie F'(a) = 0) si et seulement si a= (0, 0, 0) ou cp(a) = 1.
4) Déterminer la matrice hessienne de F en a = (0, 0, 0), c'est-à-dire la matrice de
l'application bilinéaire symétrique F" (a). En déduire la nature de ce point critique.
5) Montrer que pour tout a E IR. 3 , F( a) 2 O. En déduire que tout point critique non nul de
F est un point où F admet un minimum absolu.
Exercice III.10.
Soient F : JR. 3 ---7 1R. une application de classe C 2 , 0 un ouvert
de JR. 2 et cp : 0 ---7 JR. une application de classe C 2 telle que, pour tout (X, y) E 0,
F(x,y,cp(x,y)) =O.
1) Exprimer, au moyen des dérivées partielles premières et secondes de F et de cp, les
dérivées partielles premières et secondes de l'application (x, y, z) 1---> F(x, y, cp(x, y)).
En déduire cinq égalités, les deux premières liant les dérivées partielles premières de F et
de cp, les trois dernières liant les dérivées partielles premières et secondes de F et de cp.
2) On suppose que (a, b) E 0 est un extremum relatif de cp et on pose c = cp(a, b).
Démontrer les relations
F(a, b, c) = F~(a, b, c) = F~(a, b, c) = 0,
F~'2 (a, b, c) F~i (a, b, c) - ( F~y(a, b, c) r 2 0.
3) Pour (x, y, z) E IR. 3 , on pose
F(x, y, z) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz - z + 8.
En appliquant le théorème des fonctions implicites, montrer qu'il existe deux ouverts 0 1
et 02 de IR. 2 et deux fonctions de classe C 2 ' cp1 : 01 ---7 lR. et cp2 : 02 ---7 IR., ayant chacune
un extremum relatif dans leur domaine de définition, telles que, pour tout (x, y) E Oi, on
ait, pour i = 1 et pour i = 2,
F (x, y, cpi(x, y)) = 0.
Déterminer ces extrema relatifs.
Exercice III.11.
Soit a un réel strictement positif, et g : IR. 2 ---7 lR. la fonction
g(x,y) = x2 +y2 - ~ (Jx2 +y2 +x).
1) Montrer que g est de classe C 1 sur IR. 2 - {(O, 0) }.
2) Soit C l'ensemble des points (x, y) de IR. 2 qui vérifient g(x, y) = O. Déterminer les
points (x, y) de C où la coordonnée x admet un extremum relatif.
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Exercice III.8.
Soit f: ]O, +oo[ x JO, +oo[ ---7 IR. l'application
xy
f(x, y) = (x + l)(y + l)(x +y) ·
Montrer que f admet un maximum absolu et le déterminer.
Exercice III.9.
Soit f : JR.+ ---7 lR. et cp : IR. 3 ---7 lR. les deux applications
f(u) = (u - 1) 2 (u + 1),
cp(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xy - xz.
1) Soit u 2 O. Montrer que f' ( u) = 0 si et seulement si u = 1.
2) Montrer que cp est une forme quadratique définie positive. En déduire les points de JR. 3
où cp s'annule.
3) Soit F = f ~ cp. Montrer qu'un élément a de JR. 3 est un point critique de F (c'est-à-dire
vérifie F'(a) = 0) si et seulement si a= (0, 0, 0) ou cp(a) = 1.
4) Déterminer la matrice hessienne de F en a = (0, 0, 0), c'est-à-dire la matrice de
l'application bilinéaire symétrique F" (a). En déduire la nature de ce point critique.
5) Montrer que pour tout a E IR. 3 , F( a) 2 O. En déduire que tout point critique non nul de
F est un point où F admet un minimum absolu.
Exercice III.10.
Soient F : JR. 3 ---7 1R. une application de classe C 2 , 0 un ouvert
de JR. 2 et cp : 0 ---7 JR. une application de classe C 2 telle que, pour tout (X, y) E 0,
F(x,y,cp(x,y)) =O.
1) Exprimer, au moyen des dérivées partielles premières et secondes de F et de cp, les
dérivées partielles premières et secondes de l'application (x, y, z) 1---> F(x, y, cp(x, y)).
En déduire cinq égalités, les deux premières liant les dérivées partielles premières de F et
de cp, les trois dernières liant les dérivées partielles premières et secondes de F et de cp.
2) On suppose que (a, b) E 0 est un extremum relatif de cp et on pose c = cp(a, b).
Démontrer les relations
F(a, b, c) = F~(a, b, c) = F~(a, b, c) = 0,
F~'2 (a, b, c) F~i (a, b, c) - ( F~y(a, b, c) r 2 0.
3) Pour (x, y, z) E IR. 3 , on pose
F(x, y, z) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz - z + 8.
En appliquant le théorème des fonctions implicites, montrer qu'il existe deux ouverts 0 1
et 02 de IR. 2 et deux fonctions de classe C 2 ' cp1 : 01 ---7 lR. et cp2 : 02 ---7 IR., ayant chacune
un extremum relatif dans leur domaine de définition, telles que, pour tout (x, y) E Oi, on
ait, pour i = 1 et pour i = 2,
F (x, y, cpi(x, y)) = 0.
Déterminer ces extrema relatifs.
Exercice III.11.
Soit a un réel strictement positif, et g : IR. 2 ---7 lR. la fonction
g(x,y) = x2 +y2 - ~ (Jx2 +y2 +x).
1) Montrer que g est de classe C 1 sur IR. 2 - {(O, 0) }.
2) Soit C l'ensemble des points (x, y) de IR. 2 qui vérifient g(x, y) = O. Déterminer les
points (x, y) de C où la coordonnée x admet un extremum relatif.