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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
Montrer que f est convexe si et seulement si A est positive, c'est-à-dire vérifie, pour tout
XE !Rn, (AX/X) 2 O.
Exercice III. 7.
Soit J : IR 2 ---+ IR une application de classe C 3 telle que :
J(O) = 0,
J'(O) = 0,
J{'i(O) = !~'2 (0) = 0,
f{~(O) = 1.
On a noté 0 l'origine (0, 0) de IR 2 . On munit IR 2 de la norme euclidienne /IX / 1 = / 1 ( x, y) / 1 =
Jx2 + y2.
1) Écrire les développements de Taylor-Young en 0 au plus grand ordre possible pour les
applications f et f'. En déduire
2f(X)- J'(X)X + ~J"'(O) (X,X,X) = o(/IX/1 3 ),
XE JR 2 .
(*)
2) Pour (x, y) E IR 2 , on pose
e(x, y) = { ~(x, y) - xy
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0),
si (x, y) -f (0, 0).
Calculer f" ( 0) ( ( x, y), ( x, y)). Montrer que e est une fonction continue sur IR 2 .
3) On considère l'application g : IR 2 ---+IR,
g(x, t) = J(x, xt)
-'{
t
si X= Ü,
six r O.
x2
3 a) Montrer que g est une fonction continue sur IR 2 . [Utiliser l'application e].
3 b) Expliquer pourquoi l'ensemble U = { (x, t) E IR 2 ; x -f 0} est un ouvert de IR 2 , et
montrer que l'application g est de classe ci sur U.
3 c) Pour ( x, t) E U, calculer g~ ( x, t) en fonction de f ~. Écrire la condition exprimant que
f~ est différentiable au point 0 et en déduire que, pour tout réel b,
lim
g~(x, t) = 1.
(x,t)->(O,b), (x,t)EU
3 d) Pour (x, t) E U, calculer g~ (x, t) en fonction de f et de ses dérivées partielles. En
utilisant la relation (*),montrer que lim(x,t)->(O,b), (x,t)EU g~ (x, t) est un polynôme P(b)
en la variable b que lon exprimera au moyen de !'" (0).
4) Pour (h, k) E IR 2 , on pose
fb(h, k) = hP(b) + k,
'lf;(h, k) = g(h, b + k) - g(O, b) - fb(h, k).
4 a) Vérifier que 'lf;(O, k) = O. Calculer lim(h,k)->(O,O), (h,k)fo(O,o) 'If;' (h, k ).
4 b) En appliquant, pour h -f 0, le théorème des accroissements finis à la fonction
À ---+ 'lj;(.Xh, .Xk) sur l'intervalle [O, 1], montrer que
lim
,t~h,k~~/ = O.
(h,k)->(0,0) (h,k)fo(O,O)
,
En déduire que g est de classe ci dans IR 2 .
5) En utilisant le théorème des fonctions implicites pour l'application g en 0, montrer qu'il
existe une constante r > 0 et une fonction cp : ] - r, r[---+ IR, de classe ci, telle que les
conditions (i) et (ii) ci-dessous soient équivalentes :
(i) J(x, y) = 0, x E] - r, r[, /y/ < r/x/,
(ii) x E] - r,r[, y= xcp(x).
Décrire l'allure de la courbe de niveau 0 de f (ensemble des points (x, y) E IR 2 qui vérifient
f ( x, y) = 0) au voisinage de l'origine de IR 2 .
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
Montrer que f est convexe si et seulement si A est positive, c'est-à-dire vérifie, pour tout
XE !Rn, (AX/X) 2 O.
Exercice III. 7.
Soit J : IR 2 ---+ IR une application de classe C 3 telle que :
J(O) = 0,
J'(O) = 0,
J{'i(O) = !~'2 (0) = 0,
f{~(O) = 1.
On a noté 0 l'origine (0, 0) de IR 2 . On munit IR 2 de la norme euclidienne /IX / 1 = / 1 ( x, y) / 1 =
Jx2 + y2.
1) Écrire les développements de Taylor-Young en 0 au plus grand ordre possible pour les
applications f et f'. En déduire
2f(X)- J'(X)X + ~J"'(O) (X,X,X) = o(/IX/1 3 ),
XE JR 2 .
(*)
2) Pour (x, y) E IR 2 , on pose
e(x, y) = { ~(x, y) - xy
x2 + y2
si (x, y) = (0, 0),
si (x, y) -f (0, 0).
Calculer f" ( 0) ( ( x, y), ( x, y)). Montrer que e est une fonction continue sur IR 2 .
3) On considère l'application g : IR 2 ---+IR,
g(x, t) = J(x, xt)
-'{
t
si X= Ü,
six r O.
x2
3 a) Montrer que g est une fonction continue sur IR 2 . [Utiliser l'application e].
3 b) Expliquer pourquoi l'ensemble U = { (x, t) E IR 2 ; x -f 0} est un ouvert de IR 2 , et
montrer que l'application g est de classe ci sur U.
3 c) Pour ( x, t) E U, calculer g~ ( x, t) en fonction de f ~. Écrire la condition exprimant que
f~ est différentiable au point 0 et en déduire que, pour tout réel b,
lim
g~(x, t) = 1.
(x,t)->(O,b), (x,t)EU
3 d) Pour (x, t) E U, calculer g~ (x, t) en fonction de f et de ses dérivées partielles. En
utilisant la relation (*),montrer que lim(x,t)->(O,b), (x,t)EU g~ (x, t) est un polynôme P(b)
en la variable b que lon exprimera au moyen de !'" (0).
4) Pour (h, k) E IR 2 , on pose
fb(h, k) = hP(b) + k,
'lf;(h, k) = g(h, b + k) - g(O, b) - fb(h, k).
4 a) Vérifier que 'lf;(O, k) = O. Calculer lim(h,k)->(O,O), (h,k)fo(O,o) 'If;' (h, k ).
4 b) En appliquant, pour h -f 0, le théorème des accroissements finis à la fonction
À ---+ 'lj;(.Xh, .Xk) sur l'intervalle [O, 1], montrer que
lim
,t~h,k~~/ = O.
(h,k)->(0,0) (h,k)fo(O,O)
,
En déduire que g est de classe ci dans IR 2 .
5) En utilisant le théorème des fonctions implicites pour l'application g en 0, montrer qu'il
existe une constante r > 0 et une fonction cp : ] - r, r[---+ IR, de classe ci, telle que les
conditions (i) et (ii) ci-dessous soient équivalentes :
(i) J(x, y) = 0, x E] - r, r[, /y/ < r/x/,
(ii) x E] - r,r[, y= xcp(x).
Décrire l'allure de la courbe de niveau 0 de f (ensemble des points (x, y) E IR 2 qui vérifient
f ( x, y) = 0) au voisinage de l'origine de IR 2 .