§ 7. Exercices
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existe un voisinage ouvert Va de a tel que Va C Ua et que, pour tous x et y E Va,
llf(x) - f(y)ll = llx -yll.
4) Etablir que, pour tous x et y E Va, h et k E !Rn, (!' (x )(h) 1 f' (y )(k)) = (hlk ).
5) Calculer, pour x et y E Va eth E !Rn, llJ'(x)(h) - f'(y)(h)ll. En déduire que pour
tous x et y E Va. f' ( x) = f' (y), puis que f' est constante sur !Rn.
6) Établir qu'il existe un élément A de .C(IRn, !Rn) et un élément b de !Rn tels que, pour
tout x E !Rn, f(x) = A(x) + b et que pour tout h E !Rn, llA(h)ll = llhll.
Exercice III.4.
Soit E un espace de Banach, I =] - a, a[ (avec a > 0) un intervalle
de IR et f une application de I vers E. Soit y E JO, a[.
1) On suppose que f est de classe C 2 et qu'il existe deux constantes positives A et B telle
que, pour tout x E J, llf(x)ll :::; A, llf'(x)ll :::; B. Montrer, en utilisant la formule de
Taylor, que six E [-y, y], llf'(x)ll :::; A/y+ By.
2) On suppose que f est de classe c= et qu'il existe deux constantes positives M et K
tellesque,pourtoutn E Nettoutx E J, 1if< 2 nl(x)ll:::; M(2n)!Kn.
2 a) Pour n EN et x E [-y, y], majorer llJ< 2 n+ll(x)ll.
2 b) Montrer que si y 2 K < 1, la série 2:::~= 0 (n!)- 1 J(n) (O)(x, · · ·, x) converge sur [-y, y]
et a pour somme f(x).
Exercice III.5.
Soit E un espace vectoriel normé, [a, b] un intervalle fermé borné de
IR et f : [a, b] ---+ E une application continue. On suppose que f(a) = f(b) = 0, que
f est deux fois dérivable sur ]a, b[ et qu'il existe k > 0 tel que pour tout x E ]a, b[,
llf"(x)ll :S k.
1) Montrer que, pour tout t E ]a, b[, Il! ( :~t~) I l :S ~·
2) Montrer que, si E est complet, l'application g : ]a, b[---+ E, g(t)
admet un prolongement continu sur [a, b].
f (t)
(t - a)(t - b)'
Exercice III.6. Soit U un ouvert convexe d'un espace vectoriel normé E et f : U ---+ IR
une application. On dit que f est convexe sur U si, pour tout (x, y) E U x U et tout
t E [O, l],
J((l - t)x + ty) :::; (1 - t)f(x) + tf(y).
1) On suppose f différentiable sur U. Montrer que f est convexe sur U si et seulement si,
pour tout (x, y) EU x U, f(x) + f'(x)(y - x) :::; J(y).
2) On suppose que f est deux fois différentiable dans U.
2 a) Montrer que si f est convexe dans U, pour tout x E U et tout h E E, f" ( x) ( h, h) 2: O.
2 b) On suppose que E est un espace de Banach. Montrer réciproquement que si f est de
classe C 2 sur U et si elle vérifie, pour tout x E U et tout h E E, f" ( x) ( h, h) 2: 0, alors f
est convexe sur U.
3) On suppose f convexe et différentiable sur U. Soit a E U tel que J'(a) =O. Montrer
que f a un minimum absolu en a.
4) Application. Soit A E Mn(IR) une matrice réelle n x n symétrique et B E IRn. Soit
f : IRn ---+ IR l'application
J(X) = ~(AXIX) - (EIX).
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existe un voisinage ouvert Va de a tel que Va C Ua et que, pour tous x et y E Va,
llf(x) - f(y)ll = llx -yll.
4) Etablir que, pour tous x et y E Va, h et k E !Rn, (!' (x )(h) 1 f' (y )(k)) = (hlk ).
5) Calculer, pour x et y E Va eth E !Rn, llJ'(x)(h) - f'(y)(h)ll. En déduire que pour
tous x et y E Va. f' ( x) = f' (y), puis que f' est constante sur !Rn.
6) Établir qu'il existe un élément A de .C(IRn, !Rn) et un élément b de !Rn tels que, pour
tout x E !Rn, f(x) = A(x) + b et que pour tout h E !Rn, llA(h)ll = llhll.
Exercice III.4.
Soit E un espace de Banach, I =] - a, a[ (avec a > 0) un intervalle
de IR et f une application de I vers E. Soit y E JO, a[.
1) On suppose que f est de classe C 2 et qu'il existe deux constantes positives A et B telle
que, pour tout x E J, llf(x)ll :::; A, llf'(x)ll :::; B. Montrer, en utilisant la formule de
Taylor, que six E [-y, y], llf'(x)ll :::; A/y+ By.
2) On suppose que f est de classe c= et qu'il existe deux constantes positives M et K
tellesque,pourtoutn E Nettoutx E J, 1if< 2 nl(x)ll:::; M(2n)!Kn.
2 a) Pour n EN et x E [-y, y], majorer llJ< 2 n+ll(x)ll.
2 b) Montrer que si y 2 K < 1, la série 2:::~= 0 (n!)- 1 J(n) (O)(x, · · ·, x) converge sur [-y, y]
et a pour somme f(x).
Exercice III.5.
Soit E un espace vectoriel normé, [a, b] un intervalle fermé borné de
IR et f : [a, b] ---+ E une application continue. On suppose que f(a) = f(b) = 0, que
f est deux fois dérivable sur ]a, b[ et qu'il existe k > 0 tel que pour tout x E ]a, b[,
llf"(x)ll :S k.
1) Montrer que, pour tout t E ]a, b[, Il! ( :~t~) I l :S ~·
2) Montrer que, si E est complet, l'application g : ]a, b[---+ E, g(t)
admet un prolongement continu sur [a, b].
f (t)
(t - a)(t - b)'
Exercice III.6. Soit U un ouvert convexe d'un espace vectoriel normé E et f : U ---+ IR
une application. On dit que f est convexe sur U si, pour tout (x, y) E U x U et tout
t E [O, l],
J((l - t)x + ty) :::; (1 - t)f(x) + tf(y).
1) On suppose f différentiable sur U. Montrer que f est convexe sur U si et seulement si,
pour tout (x, y) EU x U, f(x) + f'(x)(y - x) :::; J(y).
2) On suppose que f est deux fois différentiable dans U.
2 a) Montrer que si f est convexe dans U, pour tout x E U et tout h E E, f" ( x) ( h, h) 2: O.
2 b) On suppose que E est un espace de Banach. Montrer réciproquement que si f est de
classe C 2 sur U et si elle vérifie, pour tout x E U et tout h E E, f" ( x) ( h, h) 2: 0, alors f
est convexe sur U.
3) On suppose f convexe et différentiable sur U. Soit a E U tel que J'(a) =O. Montrer
que f a un minimum absolu en a.
4) Application. Soit A E Mn(IR) une matrice réelle n x n symétrique et B E IRn. Soit
f : IRn ---+ IR l'application
J(X) = ~(AXIX) - (EIX).