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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
c) Cas où la différentielle de g n'est pas smjective. --- Nous supposons, comme cidessus, que E et F, de dimensions finies, sont identifiés, respectivement, à !Rn et !Rm,
avec m ::::; n. Les théorèmes 6.2 et 6.5 ne donnent aucun renseignement sur les points de
A = g-i (0) où la différentielle de g n'est pas surjective. C'est pourquoi il est parfois utile
de déterminer ces points, afin de vérifier si en un de ces points la fonction fi A admet un
minimum ou un maximum relatifs.
Il est facile de voir qu •en un point a = (ai, ... , an) de g- i ( 0). la différentielle de g n •est
pas surjective si et seulement s'il existe un élément non nul À= (.Xi, ... , Àm) de !Rm tel
que, pour tout i (1 ::::; i ::::; n),
a m
- 8 . (LÀJ9J(xi, ... ,xn))I _ =0.
Xi
x-a
j=i
Nous voyons qu'on peut, en une seule opération, déterminer à la fois les points de g-i(o)
qui satisfont la condition nécessaire du théorème 6.5 et ceux où la différentielle de g n •est
pas surjective. Il suffit d'écrire qu'il existe un élément non nul À = (.\0 , Ài, ... , Àm) de
JRm+i tel que, pour tout i (1 ::::; i ::::; n),
a
m
axi ( Àof(xi, ... 'Xn) + L Àjgj(Xi, ... 'Xn)) lx=a = 0.
J=i
On ajoutera bien sûr à ces n équations, les m équations (1 ::::; j ::::; m)
9J(ai, ... ,arn) =0.
Nous avons n + m équations pour les n + m + 1 inconnues ai, ... , an et Ào, ... , Àm.
mais on voit que ces équations déterminent (.\0 , ... , Àrn) à un facteur multiplicatif non
nul près. Les solutions de ce système pour lesquelles Ào -:/= 0 nous donnent des points
de g-i(o) qui satisfont la condition nécessaire du théorème 6.5, et celles pour lesquelles
Ào = 0 nous donnent des points de g- i ( 0) où la différentielle de g n •est pas surjective.
7. Exercices
Exercice III. l. Soient E et F deux espaces de Banach, f : E ----+ F une application de
classe C 2 telle que, pour tous t E IR et XE E. f(tx) = t 2 f(x).
Montrer que, pour tout x E E, D 2 f(O) (x, x) = 2f(x).
Exercice III.2.
Trouver les applications F : IR. 2 ----+ IR de classe C 2 solutions de
l'équation aux dérivées partielles :
a 2 F a 2 F
ax2 - 8y2 =O.
[On pourra poser Exercice III. 3.
On munit !Rn de son produit scalaire usuel, noté ( x, y) r-+ ( x IY), et de
la norme associée. Soit f : !Rn ----+ !Rn une application de classe ci.
l)Onpose,pourtousxety E IR.n,g(x,y) = llf(x)-f(y)ll 2 .Montrerqueladifférentielle
partiel le seconde g~ Y ( x, y) existe et la déterminer.
2) On suppose désormais que, pour tous x eth E !Rn. llf'(x) hll = llhll· Montrer que pour
tous x et y E IRn. llf(x) - f(y)il ::::; llx - Yll·
3) Soit a E !Rn. Montrer qu'il existe un voisinage ouvert Ua de a tel que la restriction
de f à ce voisinage soit un ci-difféomorphisme de Ua sur f (Ua). En déduire qu'il