§ 6. Maxima et minima relatifs liés
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(ii) il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker g' (a) ;
(iii) la fonction f est différentiable au point a.
Alors il existe un élément unique À du dual F' de F tel que la différentielle de
f - À o g au point a soit nulle.
Preuve : D'après le théorème 6.2, nous avons 1' inclusion ker g' (a) c ker f' (a). Les
conditions d'application de la proposition 6.4 (avec cp = f' (a), 'Y = g' (a)) sont satisfaites
et nous pouvons affirmer qu'il existe un élément unique À de F' tel que f' (a) = À o g' (a).
Mais >. étant linéaire, cela équivaut à la nullité de la différentielle de f - >. o g au point
a.
D
6.6. Commentaires
a) Interprétation de la condition. - D'après le théorème 5.3, la nullité de la
différentielle de f - À o g au point a est nécessaire pour que la fonction f - À o g
admette au point a un minimum ou un maximum relatifs. Nous pouvons donc dire que
la recherche des minima ou maxima relatifs liés de f, pour la liaison g = 0, se ramène
à la recherche des minima ou maxima relatifs, au sens usuel (sans liaison) de f - À o g
(où>. est un élément de F') contenus dans g- 1 (0). Il faut toutefois remarquer que>. n'est
pas connu d'avance : il sera déterminé, en même temps que le point a cherché, grâce à la
résolution des équations
{
(J - >. o g)'(a) = 0,
g(a) = 0.
b) Cas où les espaces E et F sont de dimension finie. - Voyons comment les
conditions obtenues ci-dessus s'explicitent lorsque les espaces E et F sont de dimension
finie. Moyennant le choix de bases dans ces espaces, nous pouvons identifier E à IRn et F à
IRm. L'application g, définie sur un ouvert U de IRn, am composantes 91, ... , Qm, chacune
de ces composantes étant une fonction des n variables réelles x 1 , ... , Xn. La fonction f,
définie sur U, est elle aussi fonction des n variables réelles x1, ... , Xn·
Les énoncés 6.2 et 6.5 prennent alors la forme suivante. Supposons qu'en un point
a = ( a1 , ... , an) de U, la restriction de f à g- 1 ( 0) admette un maximum ou un minimum
relatif. Supposons aussi que la différentielle de g au point a soit surjective, c'est-à-dire que
la matrice ( ~!~) (1 :::; i :::; n, 1 :::; j :::; m) soit de rang m au point a. Pour cela, nous
devons bien sûr avoir m :S n. D'après la remarque 6.3, nous n'avons pas à nous occuper
de la condition (ii) des énoncés 6.2 et 6.5, car elle est automatiquement satisfaite. Alors,
les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :
1. Pour tout élément ( v1 , ... , Vm) de IRm qui vérifie, pour tout j (l :S j :S n ),
..ç-.. &gj(X1, ... 'Xn) 1 vi = 0'
~
ax·
x=a
i=l
i
on a aussi
2. Il existe un élément >. = ( >. 1 , ... , Àm) de IRm (identifié à son dual) tel que, pour chaque
i (1 :S i :S n),
f)
m
âx· (!(x1, ... ,Xn)- LÀjgj(X1, ... ,xn))lx=a =0.
i
j=l
Les Àj (l :S j :S m) sont appelés multiplicateurs de Lagrange.
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(ii) il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker g' (a) ;
(iii) la fonction f est différentiable au point a.
Alors il existe un élément unique À du dual F' de F tel que la différentielle de
f - À o g au point a soit nulle.
Preuve : D'après le théorème 6.2, nous avons 1' inclusion ker g' (a) c ker f' (a). Les
conditions d'application de la proposition 6.4 (avec cp = f' (a), 'Y = g' (a)) sont satisfaites
et nous pouvons affirmer qu'il existe un élément unique À de F' tel que f' (a) = À o g' (a).
Mais >. étant linéaire, cela équivaut à la nullité de la différentielle de f - >. o g au point
a.
D
6.6. Commentaires
a) Interprétation de la condition. - D'après le théorème 5.3, la nullité de la
différentielle de f - À o g au point a est nécessaire pour que la fonction f - À o g
admette au point a un minimum ou un maximum relatifs. Nous pouvons donc dire que
la recherche des minima ou maxima relatifs liés de f, pour la liaison g = 0, se ramène
à la recherche des minima ou maxima relatifs, au sens usuel (sans liaison) de f - À o g
(où>. est un élément de F') contenus dans g- 1 (0). Il faut toutefois remarquer que>. n'est
pas connu d'avance : il sera déterminé, en même temps que le point a cherché, grâce à la
résolution des équations
{
(J - >. o g)'(a) = 0,
g(a) = 0.
b) Cas où les espaces E et F sont de dimension finie. - Voyons comment les
conditions obtenues ci-dessus s'explicitent lorsque les espaces E et F sont de dimension
finie. Moyennant le choix de bases dans ces espaces, nous pouvons identifier E à IRn et F à
IRm. L'application g, définie sur un ouvert U de IRn, am composantes 91, ... , Qm, chacune
de ces composantes étant une fonction des n variables réelles x 1 , ... , Xn. La fonction f,
définie sur U, est elle aussi fonction des n variables réelles x1, ... , Xn·
Les énoncés 6.2 et 6.5 prennent alors la forme suivante. Supposons qu'en un point
a = ( a1 , ... , an) de U, la restriction de f à g- 1 ( 0) admette un maximum ou un minimum
relatif. Supposons aussi que la différentielle de g au point a soit surjective, c'est-à-dire que
la matrice ( ~!~) (1 :::; i :::; n, 1 :::; j :::; m) soit de rang m au point a. Pour cela, nous
devons bien sûr avoir m :S n. D'après la remarque 6.3, nous n'avons pas à nous occuper
de la condition (ii) des énoncés 6.2 et 6.5, car elle est automatiquement satisfaite. Alors,
les deux conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :
1. Pour tout élément ( v1 , ... , Vm) de IRm qui vérifie, pour tout j (l :S j :S n ),
..ç-.. &gj(X1, ... 'Xn) 1 vi = 0'
~
ax·
x=a
i=l
i
on a aussi
2. Il existe un élément >. = ( >. 1 , ... , Àm) de IRm (identifié à son dual) tel que, pour chaque
i (1 :S i :S n),
f)
m
âx· (!(x1, ... ,Xn)- LÀjgj(X1, ... ,xn))lx=a =0.
i
j=l
Les Àj (l :S j :S m) sont appelés multiplicateurs de Lagrange.