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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
6.3. Remarque. - Si l'espace Fest de dimension finie, et si la condition (i) du théorème
6.2 est vérifiée, alors la condition (ii) l'est aussi. Soit en effet (f 1, ... , f m) une base de F.
Puisque g' (a) est surjective il existe des éléments e1 , ... , em de E tels que g' (a) ( ei) = k
(1 :::; i :::; p). Le sous-espace vectoriel G de E engendré par les éléments e1 , ... , em est
fermé puisque de dimension finie, et c'est un supplémentaire de ker g'(a).
En particulier, si l'espace E est de dimension finie et si la condition (i) est vérifiée, Fest
aussi de dimension finie et la condition (ii) est automatiquement satisfaite.
Le théorème 6.2 donne (sous certaines hypothèses) une condition nécessaire pour que f IA
admette, en un point de A, un minimum ou un maximum relatifs : on doit avoir, pour tout
u E ker g' (a), J' (a) ( u) = O. La proposition suivante va nous permettre de donner à cette
condition une autre forme équivalente, souvent d'emploi plus commode.
6.4. Proposition. -
Soient E et F deux espaces de Banach sur le corps OC = IR
ou C, 1 E .C(E, F) une application linéaire continue et surjective de E sur F, et
cp un élément du dual E' de E, c'est-à-dire une forme linéaire continue sur E.
On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de
ker1. Les deux conditions suivantes sont équivalentes:
1. On a l'inclusion ker 1 C ker cp.
2. Il existe un élément À du dual F' de F, c'est-à-dire une forme linéaire continue
sur F, telle que cp =À o I·
Lorsque ces conditions sont satisfaites, la forme linéaire À est unique.
Preuve : La condition 2 implique évidemment 1. Réciproquement, supposons la condition
l satisfaite. Pour tout y E F, i- 1 (y) est un sous-espace affine fermé de E, non vide
puisque 1 est surjective; de plus, cp prend sur ce sous-espace une valeur constante; en
effet, si x et x' en sont deux éléments, x - x' est élément de ker 1, qui par hypothèse est
contenu dans ker cp. Il existe donc une unique application À : F ~ OC dont la valeur, en
chaque point y de F, est égale à la valeur (constante) de cp sur 1- 1 (y). L'application À
vérifie, par construction, cp = À o 1, et c'est la seule application de F dans OC ayant cette
propriété. Il ne reste plus qu'à vérifier qu'elle est linéaire et continue. La vérification de sa
linéarité est immédiate. Celle de sa continuité est un peu plus délicate. Rappelons que, par
hypothèse, il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker 1. La
restriction de 1 à Gest linéaire, continue et bijective de G sur F. D'après le théorème de
Banach (déjà utilisé dans la démonstrations de 6.2), ile est un isomorphisme d'espaces
de Banach. Le noyau de À est, par construction, 1(ker cp ). Mais nous avons
1(ker cp) = 1le ( G n ker cp).
C'est l'image, par un isomorphisme d'espaces de Banach, du sous-espace vectoriel fermé
G n ker cp de J'espace de Banach G. Il est donc fermé dans F. Or on sait (voir par exemple
[T.IX.6], exercice 9) qu'une forme linéaire sur un espace de Banach est continue si et
seulement si son noyau est un sous-espace vectoriel fermé. Nous avons ainsi prouvé que
À est continue.
D
Nous pouvons maintenant reformuler le théorème 6.2 comme suit.
6.5. Théorème. -
Les hypothèses étant celles précisées en 6.1, soit a un point
de A où la fonction JIA admet un minimum relatif ou un maximum relatif. On
suppose que les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(i) la différentielle g' (a) de g au point a est surjective;
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
6.3. Remarque. - Si l'espace Fest de dimension finie, et si la condition (i) du théorème
6.2 est vérifiée, alors la condition (ii) l'est aussi. Soit en effet (f 1, ... , f m) une base de F.
Puisque g' (a) est surjective il existe des éléments e1 , ... , em de E tels que g' (a) ( ei) = k
(1 :::; i :::; p). Le sous-espace vectoriel G de E engendré par les éléments e1 , ... , em est
fermé puisque de dimension finie, et c'est un supplémentaire de ker g'(a).
En particulier, si l'espace E est de dimension finie et si la condition (i) est vérifiée, Fest
aussi de dimension finie et la condition (ii) est automatiquement satisfaite.
Le théorème 6.2 donne (sous certaines hypothèses) une condition nécessaire pour que f IA
admette, en un point de A, un minimum ou un maximum relatifs : on doit avoir, pour tout
u E ker g' (a), J' (a) ( u) = O. La proposition suivante va nous permettre de donner à cette
condition une autre forme équivalente, souvent d'emploi plus commode.
6.4. Proposition. -
Soient E et F deux espaces de Banach sur le corps OC = IR
ou C, 1 E .C(E, F) une application linéaire continue et surjective de E sur F, et
cp un élément du dual E' de E, c'est-à-dire une forme linéaire continue sur E.
On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de
ker1. Les deux conditions suivantes sont équivalentes:
1. On a l'inclusion ker 1 C ker cp.
2. Il existe un élément À du dual F' de F, c'est-à-dire une forme linéaire continue
sur F, telle que cp =À o I·
Lorsque ces conditions sont satisfaites, la forme linéaire À est unique.
Preuve : La condition 2 implique évidemment 1. Réciproquement, supposons la condition
l satisfaite. Pour tout y E F, i- 1 (y) est un sous-espace affine fermé de E, non vide
puisque 1 est surjective; de plus, cp prend sur ce sous-espace une valeur constante; en
effet, si x et x' en sont deux éléments, x - x' est élément de ker 1, qui par hypothèse est
contenu dans ker cp. Il existe donc une unique application À : F ~ OC dont la valeur, en
chaque point y de F, est égale à la valeur (constante) de cp sur 1- 1 (y). L'application À
vérifie, par construction, cp = À o 1, et c'est la seule application de F dans OC ayant cette
propriété. Il ne reste plus qu'à vérifier qu'elle est linéaire et continue. La vérification de sa
linéarité est immédiate. Celle de sa continuité est un peu plus délicate. Rappelons que, par
hypothèse, il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker 1. La
restriction de 1 à Gest linéaire, continue et bijective de G sur F. D'après le théorème de
Banach (déjà utilisé dans la démonstrations de 6.2), ile est un isomorphisme d'espaces
de Banach. Le noyau de À est, par construction, 1(ker cp ). Mais nous avons
1(ker cp) = 1le ( G n ker cp).
C'est l'image, par un isomorphisme d'espaces de Banach, du sous-espace vectoriel fermé
G n ker cp de J'espace de Banach G. Il est donc fermé dans F. Or on sait (voir par exemple
[T.IX.6], exercice 9) qu'une forme linéaire sur un espace de Banach est continue si et
seulement si son noyau est un sous-espace vectoriel fermé. Nous avons ainsi prouvé que
À est continue.
D
Nous pouvons maintenant reformuler le théorème 6.2 comme suit.
6.5. Théorème. -
Les hypothèses étant celles précisées en 6.1, soit a un point
de A où la fonction JIA admet un minimum relatif ou un maximum relatif. On
suppose que les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(i) la différentielle g' (a) de g au point a est surjective;