§ 6. Maxima et minima relatifs liés
77
Preuve : Posons, pour alléger l'écriture, K = ker g' (a). C'est un sous-espace vectoriel
fermé de E, donc un espace de Banach. Par hypothèse, il existe un autre sous-espace
vectoriel fermé G de E supplémentaire de K. L'application de K x G dans E, (x, y) t--t
x + y, avec x E K et y E G, est linéaire, continue et bijective. D'après le théorème
de Banach (voir par exemple [T.IX.5.7]), son inverse est continue. Nous pouvons donc
identifier, au moyen de cette application, l'espace Eau produit K x G, donc considérer
U comme un ouvert de K x G, et A= g- 1 (0) comme une partie de U, donc de K x G.
Le point a de A s'écrit donc a= (aK, aa), avec aK E K, aa E G.
L'application g: U-> F s'écrit comme une fonction de deux variables, (x, y) t--t g(x, y),
avec x E K, y E G. Ses différentielles partielles g~(aK, aa) et g~(aK, aa) sont les
restrictions de g' (a), respectivement à K et à G; cela résulte en effet del' identification que
nous avons faite de E avec K x G. Comme K est le noyau de g' (a), la différentielle partielle
g~(aK, aa) est nulle. L'autre différentielle partielle, g~(aK, aa) est une application
linéaire continue et bijective de G sur F. D'après le théorème de Banach, son inverse
est continue, et nous pouvons affirmer que g~ (a K, aa) est un isomorphisme de G sur
F. Le théorème des fonctions implicites (11.3.1) nous permet d'affirmer qu'il existe un
voisinage ouvert V de ( aK, aa) dans K x G, V c U, un voisinage ouvert W de aK dans
K et une application différentiable h, de classe CP, de W dans G, tels que les assertions
suivantes:
(a) le couple (x, y) est élément de V et g(x, y) = 0,
(b) le point x est élément de W et y = h( x),
soient équivalentes.
Nous voyons ainsi que V n A = V n g- 1 ( 0) est le graphe de l'application h :
V n A= { (x, y) E K X G ; XE w' y= h(x)}.
L'application x t--t ( x, h( x)) est un homéomorphisme de 1' ouvert W de K sur 1' ouvert
V n A de A. La fonction f admettant au point a de V n A un minimum relatif ou un
maximum relatif, sa composée f o (idw, h) avec l'homéomorphisme (idw, h) admet au
point aK de W un maximum relatif ou un minimum relatif. Mais la fonction f o (idw, h)
est différentiable au point aK. Le théorème 5.3 nous permet d'affirmer que sa différentielle
en ce point est nulle. Nous devons donc avoir, pour tout u E K,
D(f o (idw,h))(aK)(u) =O.
Mais en utilisant la règle de différentiation des applications composées, nous obtenons
D(f o (idw, h))(aK )(u) = J'(a)(u, h'(aK )(u)).
Calculons h'(aK ). Nous avons, pour tout x E W,
g(x., h(x)) = 0.
En différentiant cette expression au point aK, nous obtenons, pour tout u E K,
g~(aK, aa)(u) + g~(aK, aa)(h'(aK )(u)) = 0.
Puisque g~ ( aK, aa) est un isomorphisme et que g~ ( aK, aa) est nulle, cette égalité prouve
que
La condition (*),compte tenu de ( **) et de ( ***),équivaut donc à
Vu E ker g' (a) , J' (a)( u) = 0 .
D
77
Preuve : Posons, pour alléger l'écriture, K = ker g' (a). C'est un sous-espace vectoriel
fermé de E, donc un espace de Banach. Par hypothèse, il existe un autre sous-espace
vectoriel fermé G de E supplémentaire de K. L'application de K x G dans E, (x, y) t--t
x + y, avec x E K et y E G, est linéaire, continue et bijective. D'après le théorème
de Banach (voir par exemple [T.IX.5.7]), son inverse est continue. Nous pouvons donc
identifier, au moyen de cette application, l'espace Eau produit K x G, donc considérer
U comme un ouvert de K x G, et A= g- 1 (0) comme une partie de U, donc de K x G.
Le point a de A s'écrit donc a= (aK, aa), avec aK E K, aa E G.
L'application g: U-> F s'écrit comme une fonction de deux variables, (x, y) t--t g(x, y),
avec x E K, y E G. Ses différentielles partielles g~(aK, aa) et g~(aK, aa) sont les
restrictions de g' (a), respectivement à K et à G; cela résulte en effet del' identification que
nous avons faite de E avec K x G. Comme K est le noyau de g' (a), la différentielle partielle
g~(aK, aa) est nulle. L'autre différentielle partielle, g~(aK, aa) est une application
linéaire continue et bijective de G sur F. D'après le théorème de Banach, son inverse
est continue, et nous pouvons affirmer que g~ (a K, aa) est un isomorphisme de G sur
F. Le théorème des fonctions implicites (11.3.1) nous permet d'affirmer qu'il existe un
voisinage ouvert V de ( aK, aa) dans K x G, V c U, un voisinage ouvert W de aK dans
K et une application différentiable h, de classe CP, de W dans G, tels que les assertions
suivantes:
(a) le couple (x, y) est élément de V et g(x, y) = 0,
(b) le point x est élément de W et y = h( x),
soient équivalentes.
Nous voyons ainsi que V n A = V n g- 1 ( 0) est le graphe de l'application h :
V n A= { (x, y) E K X G ; XE w' y= h(x)}.
L'application x t--t ( x, h( x)) est un homéomorphisme de 1' ouvert W de K sur 1' ouvert
V n A de A. La fonction f admettant au point a de V n A un minimum relatif ou un
maximum relatif, sa composée f o (idw, h) avec l'homéomorphisme (idw, h) admet au
point aK de W un maximum relatif ou un minimum relatif. Mais la fonction f o (idw, h)
est différentiable au point aK. Le théorème 5.3 nous permet d'affirmer que sa différentielle
en ce point est nulle. Nous devons donc avoir, pour tout u E K,
D(f o (idw,h))(aK)(u) =O.
Mais en utilisant la règle de différentiation des applications composées, nous obtenons
D(f o (idw, h))(aK )(u) = J'(a)(u, h'(aK )(u)).
Calculons h'(aK ). Nous avons, pour tout x E W,
g(x., h(x)) = 0.
En différentiant cette expression au point aK, nous obtenons, pour tout u E K,
g~(aK, aa)(u) + g~(aK, aa)(h'(aK )(u)) = 0.
Puisque g~ ( aK, aa) est un isomorphisme et que g~ ( aK, aa) est nulle, cette égalité prouve
que
La condition (*),compte tenu de ( **) et de ( ***),équivaut donc à
Vu E ker g' (a) , J' (a)( u) = 0 .
D