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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
admet en ce point un minimum relatif, ses dérivées partielles secondes en ce point vérifient
les inégalités (3) ci-dessus.
Nous voyons de même que si la fonction f admet au point (a, b) un maximum relatif,
les autres hypothèses étant inchangées, ses dérivées partielles secondes au point (a, b)
vérifient les inégalités
i;x(a, b) ~ 0' tiy(a, b) ~ 0' u;y(a, b)) 2 ~ J;x(a, b)fiy(a, b).
(4)
L'application linéaire ép est un isomorphisme de IR 2 sur lui-même (identifié à son dual) si
et seulement si sa matrice (2) a un déterminant non nul, c'est-à-dire si et seulement si
J;x(a, b)fiy(a, b) - u;y(a, b))
2
i= 0.
Compte tenu du corollaire 5.9, nous voyons donc que f" (a, b) est coercive si et seulement
si les dérivées partielles secondes de f au point (a, b) vérifient
J::x(a, b) > 0, fiy(a, b) > 0, (f;y(a, b))
2
< J;x(a, b)fiy(a, b).
(5)
Le théorème 5. 7 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré : la fonction f étant
supposée deux fois différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition, si,
en ce point, ses deux dérivées partielles premières sont nulles et si ses dérivées partielles
secondes vérifient les inégalités (5), f admet en (a, b) un minimum relatif strict.
De même, si les dérivées partielles secondes de f au point (a, b) vérifient les inégalités
J;x(a, b) < 0' tiy(a, b) < 0' u;y(a, b))
2
< J;x(a, b)fiy(a, b)'
(6)
les autres hypothèses étant inchangées, f admet au point (a, b) un maximum relatif strict.
6. Maxima et minima relatifs liés
6.1. Le problème étudié. - Soit U un ouvert d'un espace de Banach réel E, et g : U - F
une application différentiable de classe CP (p ;::: 1) de U dans un autre espace de Banach
F. Soit A la partie de U
A= g- 1 (0) = { x EU ; g(x) = 0}.
Soit d'autre part f : U - IR une fonction définie sur U, à valeurs réelles. Nous nous
intéressons aux points de A où la fonction flA (restriction de f à A) présente un
minimum relatif ou un maximum relatif, au sens de la définition 5.2. Ces points sont
traditionnellement appelés maxima ou minima liés de la fonction f, car la condition
g ( x) = 0, exprim~mt que les points x de U auxquels on s'intéresse doivent appartenir à
l'ensemble A, est souvent appelée une liaison.
Nous nous bornerons, dans la suite de ce paragraphe, à établir une condition nécessaire pour
qu'en un point a de A la fonction f IA admette un minimum relatif ou un maximum relatif.
Cette condition est l'analogue de celle donnée, en l'absence de liaison, par le théorème 5.3.
Il est possible aussi de formuler, pour les maxima et minima liés, des conditions suffisantes
analogues à celles données par le théorème 5.7, mais nous ne le ferons pas dans cet ouvrage.
6.2. Théorème. -
Les hypothèses étant celles précisées en 6.1, soit a un point
de A où la fonction flA admet un minimum relatif ou un maximum relatif On
suppose que les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(i) la différentielle g' (a) de g au point a est surjective;
(ii) il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker g' (a) ;
(iii) la fonction f est différentiable au point a.
Alors on a l'inclusion ker g' (a) C ker f' (a).
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
admet en ce point un minimum relatif, ses dérivées partielles secondes en ce point vérifient
les inégalités (3) ci-dessus.
Nous voyons de même que si la fonction f admet au point (a, b) un maximum relatif,
les autres hypothèses étant inchangées, ses dérivées partielles secondes au point (a, b)
vérifient les inégalités
i;x(a, b) ~ 0' tiy(a, b) ~ 0' u;y(a, b)) 2 ~ J;x(a, b)fiy(a, b).
(4)
L'application linéaire ép est un isomorphisme de IR 2 sur lui-même (identifié à son dual) si
et seulement si sa matrice (2) a un déterminant non nul, c'est-à-dire si et seulement si
J;x(a, b)fiy(a, b) - u;y(a, b))
2
i= 0.
Compte tenu du corollaire 5.9, nous voyons donc que f" (a, b) est coercive si et seulement
si les dérivées partielles secondes de f au point (a, b) vérifient
J::x(a, b) > 0, fiy(a, b) > 0, (f;y(a, b))
2
< J;x(a, b)fiy(a, b).
(5)
Le théorème 5. 7 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré : la fonction f étant
supposée deux fois différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition, si,
en ce point, ses deux dérivées partielles premières sont nulles et si ses dérivées partielles
secondes vérifient les inégalités (5), f admet en (a, b) un minimum relatif strict.
De même, si les dérivées partielles secondes de f au point (a, b) vérifient les inégalités
J;x(a, b) < 0' tiy(a, b) < 0' u;y(a, b))
2
< J;x(a, b)fiy(a, b)'
(6)
les autres hypothèses étant inchangées, f admet au point (a, b) un maximum relatif strict.
6. Maxima et minima relatifs liés
6.1. Le problème étudié. - Soit U un ouvert d'un espace de Banach réel E, et g : U - F
une application différentiable de classe CP (p ;::: 1) de U dans un autre espace de Banach
F. Soit A la partie de U
A= g- 1 (0) = { x EU ; g(x) = 0}.
Soit d'autre part f : U - IR une fonction définie sur U, à valeurs réelles. Nous nous
intéressons aux points de A où la fonction flA (restriction de f à A) présente un
minimum relatif ou un maximum relatif, au sens de la définition 5.2. Ces points sont
traditionnellement appelés maxima ou minima liés de la fonction f, car la condition
g ( x) = 0, exprim~mt que les points x de U auxquels on s'intéresse doivent appartenir à
l'ensemble A, est souvent appelée une liaison.
Nous nous bornerons, dans la suite de ce paragraphe, à établir une condition nécessaire pour
qu'en un point a de A la fonction f IA admette un minimum relatif ou un maximum relatif.
Cette condition est l'analogue de celle donnée, en l'absence de liaison, par le théorème 5.3.
Il est possible aussi de formuler, pour les maxima et minima liés, des conditions suffisantes
analogues à celles données par le théorème 5.7, mais nous ne le ferons pas dans cet ouvrage.
6.2. Théorème. -
Les hypothèses étant celles précisées en 6.1, soit a un point
de A où la fonction flA admet un minimum relatif ou un maximum relatif On
suppose que les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(i) la différentielle g' (a) de g au point a est surjective;
(ii) il existe un sous-espace vectoriel fermé G de E supplémentaire de ker g' (a) ;
(iii) la fonction f est différentiable au point a.
Alors on a l'inclusion ker g' (a) C ker f' (a).