§ 5. Maxima et minima relatifs
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5.9. Corollaire. -
Sur un espace vectoriel normé réel E de dimension fi.nie, une
forme quadratique est coercive si et seulement si elle est positive et non dégénérée.
Preuve : Puisque E est de dimension finie, il est complet, et toute forme bilinéaire
symétrique (donc aussi toute forme quadratique) sur cet espace est continue. Soit cp une
forme quadratique sur E, ép la forme bilinéaire symétrique associée, et rp l'application
linéaire de E dans son dual associée à ép. Si cp est coercive, rp est injective puisque pour
tout x E E, x f. 0,
(rp(x)) (x) = ép(x, x) = cp(x) 2: kllxll 2 > 0.
Réciproquement, si cp est positive et non dégénérée, rp est injective. Puisque E et son dual
sont de même dimension, rp est un isomorphisme. La proposition précédente montre alors
que cp est coercive.
D
5.10. Application. - Soit f une fonction définie sur une partie A de IR 2 . Nous noterons f
comme une fonction de deux variables réelles x et y, (x, y) t-t f (x, y). Soit (a, b) un point
intérieur à A.
Supposons f différentiable au point (a, b). Sa différentielle en ce point est nulle si et
seulement si ses dérivées partielles en ce point sont toutes les deux nulles :
J~(a,b) = 0,
f~(a,b)=O.
(1)
Le théorème 5.3 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré : si la fonction f,
supposée différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition, admet en ce
point un minimum relatif ou un maximum relatif, ses dérivées partielles en ce point sont
nulles (égalités (1) ci-dessus).
Supposons f deux fois différentiable au point (a, b). Soient J:;x(a, b), f~x(a, b), J:;y(a, b)
et f~y(a, b) ses dérivées partielles secondes au point (a, b). Nous savons d'ailleurs que
f~x (a, b) = J:;y (a, b). La différentielle seconde de f au point (a, b) est la forme bilinéaire
symétrique ép = f" (a, b) sur JR 2 définie par
J"(a,b)((u1,v1), (u2,v2)) = f~x(a,b)u1u2 + f;x(a,b)v1u2
+ f~y(a, b)u1v2 + J;y(a, b)v1v2.
Il lui est associé l'application linéaire rp de JR 2 dans son dual qui, à tout élément
( u1, v1) de JR 2 , fait correspondre l'application linéaire de IR 2 dans IR : ( u2, v2) t-t
J"(a,b)((u1,v1),(u2,v2)). L'espace IR 2 étant identifié avec son dual de la manière
habituelle (pour laquelle un élément (h, k) de IR 2 est identifié à la forme linéaire
( u, v) t-t hu + kv sur IR 2 ), l'application linéaire rp a pour matrice, dans la base usuelle de
JR2,
(2)
La forme quadratique cp sur IR 2 associée à f"(a, b) a pour expression, compte tenu de
f~x(a, b) = J:;y(a, b),
cp(u, v) = f~x(a, b)u 2 + 2f~y(a, b)uv + J;y(a, b)v 2 .
Elle est positive si et seulement si le discriminant du trinôme associé est négatif ou nul et
les coefficients des termes en u 2 et en v 2 sont positifs ou nuls, ce qui se traduit par
f~x(a,b) 2: 0, J;y(a,b) 2: 0, (f~y(a,b)) 2 :::; f~x(a,b)J;y(a,b).
(3)
Le théorème 5.6 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré: si la fonction f,
supposée deux fois différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition,
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5.9. Corollaire. -
Sur un espace vectoriel normé réel E de dimension fi.nie, une
forme quadratique est coercive si et seulement si elle est positive et non dégénérée.
Preuve : Puisque E est de dimension finie, il est complet, et toute forme bilinéaire
symétrique (donc aussi toute forme quadratique) sur cet espace est continue. Soit cp une
forme quadratique sur E, ép la forme bilinéaire symétrique associée, et rp l'application
linéaire de E dans son dual associée à ép. Si cp est coercive, rp est injective puisque pour
tout x E E, x f. 0,
(rp(x)) (x) = ép(x, x) = cp(x) 2: kllxll 2 > 0.
Réciproquement, si cp est positive et non dégénérée, rp est injective. Puisque E et son dual
sont de même dimension, rp est un isomorphisme. La proposition précédente montre alors
que cp est coercive.
D
5.10. Application. - Soit f une fonction définie sur une partie A de IR 2 . Nous noterons f
comme une fonction de deux variables réelles x et y, (x, y) t-t f (x, y). Soit (a, b) un point
intérieur à A.
Supposons f différentiable au point (a, b). Sa différentielle en ce point est nulle si et
seulement si ses dérivées partielles en ce point sont toutes les deux nulles :
J~(a,b) = 0,
f~(a,b)=O.
(1)
Le théorème 5.3 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré : si la fonction f,
supposée différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition, admet en ce
point un minimum relatif ou un maximum relatif, ses dérivées partielles en ce point sont
nulles (égalités (1) ci-dessus).
Supposons f deux fois différentiable au point (a, b). Soient J:;x(a, b), f~x(a, b), J:;y(a, b)
et f~y(a, b) ses dérivées partielles secondes au point (a, b). Nous savons d'ailleurs que
f~x (a, b) = J:;y (a, b). La différentielle seconde de f au point (a, b) est la forme bilinéaire
symétrique ép = f" (a, b) sur JR 2 définie par
J"(a,b)((u1,v1), (u2,v2)) = f~x(a,b)u1u2 + f;x(a,b)v1u2
+ f~y(a, b)u1v2 + J;y(a, b)v1v2.
Il lui est associé l'application linéaire rp de JR 2 dans son dual qui, à tout élément
( u1, v1) de JR 2 , fait correspondre l'application linéaire de IR 2 dans IR : ( u2, v2) t-t
J"(a,b)((u1,v1),(u2,v2)). L'espace IR 2 étant identifié avec son dual de la manière
habituelle (pour laquelle un élément (h, k) de IR 2 est identifié à la forme linéaire
( u, v) t-t hu + kv sur IR 2 ), l'application linéaire rp a pour matrice, dans la base usuelle de
JR2,
(2)
La forme quadratique cp sur IR 2 associée à f"(a, b) a pour expression, compte tenu de
f~x(a, b) = J:;y(a, b),
cp(u, v) = f~x(a, b)u 2 + 2f~y(a, b)uv + J;y(a, b)v 2 .
Elle est positive si et seulement si le discriminant du trinôme associé est négatif ou nul et
les coefficients des termes en u 2 et en v 2 sont positifs ou nuls, ce qui se traduit par
f~x(a,b) 2: 0, J;y(a,b) 2: 0, (f~y(a,b)) 2 :::; f~x(a,b)J;y(a,b).
(3)
Le théorème 5.6 s'exprime donc ainsi, dans le cas particulier considéré: si la fonction f,
supposée deux fois différentiable au point (a, b) intérieur à son domaine de définition,