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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
S.7. Théorème. -
Les hypothèses et notations sont celles de 5.1. Si la fonction f
est deux fois différentiable en un point a intérieur à A, si sa différentielle première
en ce point est nulle et si sa différentielle seconde en ce point est coercive, f admet
en a un minimum relatif strict.
Preuve : La différentielle seconde J" (a) de f au point a étant coercive, il existe À > 0 tel
que, pour tout x E E,
J"(a)(x, x) 2: .XJlxll 2 •
La forme asymptotique de la formule de Taylor à l'ordre 2 en a nous permet d'écrire
1
f(a + x) - f(a) - 2J"(a)(x, x) = o(Jlxll 2 ).
Il existe donc 'f/ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant llxll ~ 'f} et tel que a + x soit
intérieur à A,
1
À
IJ(a + x) - J(a) - 2J"(a)(x, x)I ~ 411xll 2 ,
donc
1
À
f(a + x) - f(a) 2: 2J"(a)(x,x) - 411xll 2
( À
À) 2
2: 2 - 4 llxll ·
Ceci prouve que pour tout x E E vérifiant 0 < llxll < 'f} et tel que a+ x soit intérieur à A,
f (a + x) - J (a) > 0, donc que f admet en a un minimum relatif strict.
D
La proposition suivante indique des conditions dans lesquelles on peut affirmer que f" (a)
est coercive.
S.8. Proposition. -
Soit E un espace de Banach réel, 0 une forme bilinéaire
continue et symétrique sur E,

l'application linéaire continue de E dans son dual topologique E' qui associe à
chaque élément x de Ela forme linéaire ip(x) sur E défi.nie par
ip(x)(y) = ép(x, y),
y E E.
Si

Preuve : Soit x E E, x #- O. La norme M- 1 de ip: E ~ E' est un isomorphisme, c'est-à-dire est linéaire, bijective, continue et d'inverse
continue. Nous avons donc
110(x)ll 2:: MJJxll ·
D'après la définition de la norme d'une application linéaire, il existe y E E vérifiant
llYll = 1 tel que
Jip(x)(y)J = 10(x, Y)I 2:: ~ llxll ·
Compte tenu de l'inégalité de Schwarz, nous en déduisons
M2
Mais la norme k de 0 est strictement positive et, puisque

Par suite,
ce qui prouve que

D