§ S. Maxima et minima relatifs
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S.S. Théorème [Inégalité de Schwarz]. - Soit cp une forme quadratique positive sur
l'espace vectoriel réel E, et ép la forme bilinéaire symétrique associée. On a, pour
tous x et y E E,
lép(x, Y)l 2 S cp(x)cp(y).
Preuve : Puisque cp est positive, cp(x + ty) ~ 0 pour tous x et y E E et tout t E R Or,
d'après la bilinéarité de ép,
cp(x + ty) = cp(y)t 2 + 2ép(x,y)t + cp(x).
(*)
L'expression ci-dessus doit être ~ 0 pour tout t E R Supposons x et y E E fixés.
Si cp(y) = 0, nous devons avoir ép(x,y) = 0, et l'inégalité de Schwarz est vérifiée. Si
cp(y) =J 0, le membre de droite de ( *) est un trinôme du second degré en t, dont la valeur
est ~ 0 pour tout t E R En exprimant que le discriminant de ce trinôme est s 0, nous
obtenons l'inégalité de Schwarz.
D
S.6. Théorème. - Les hypothèses et notations sont celles de 5.1. Si la fonction f
admet en un point a intérieur à A un minimum relatif (resp., un maximum
relatif), et si f est deux fois différentiable en a, la forme quadratique associée
à sa différentielle seconde au point a est positive (resp., négative).
Preuve : Supposons par exemple que f admette en a un minimum relatif, et que f" (a) ne
soit pas positive. Il existe alors v E Etel que f"(a)(v, v)
s'écrit
J(a + x) - J(a) - ~J"(a)(x, x) = o(jjxjj 2 ).
Il existe donc TJ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant llxll s TJ et tel que a + x soit
intérieur à A,
1
M
IJ(a + x) - f(a) - 2J"(a)(x,x)I S 411xll 2 ,
donc
1
M
f(a + x) - f(a) S 2J"(a)(x, x) + 4 llxll 2 .
Soit V un voisinage de a dans E. Le point a étant intérieur à A, il existe e > 0 tel que pour
tout réel t vérifiant lti s e, a+ tw soit intérieur à A et élément de An V. Imposons de
plus es ry. Dans les mêmes conditions, nous avons litwil = itl s TJ et, d'après l'inégalité
précédente (dans laquelle nous faisons x = tw ),
f (a + tw) - f (a) S ( ~ - ~) itl 2 ,
ce qui prouve que pour 0 < ltl s e, f(a + tw) - J(a) est strictement négatif. Le point
a + tw étant élément de V n A, ceci contredit l'hypothèse selon laquelle f admet un
minimum relatif en a.
D
Les théorèmes 5.3 et 5.6 donnent, dans le cas où a est intérieur à A et f une fois ou deux
fois différentiable en a, des conditions nécessaires pour que f admette en a un minimum
relatif (ou un maximum relatif). Le théorème suivant donne une condition suffisante pour
que f admette en a un minimum relatif strict.
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S.S. Théorème [Inégalité de Schwarz]. - Soit cp une forme quadratique positive sur
l'espace vectoriel réel E, et ép la forme bilinéaire symétrique associée. On a, pour
tous x et y E E,
lép(x, Y)l 2 S cp(x)cp(y).
Preuve : Puisque cp est positive, cp(x + ty) ~ 0 pour tous x et y E E et tout t E R Or,
d'après la bilinéarité de ép,
cp(x + ty) = cp(y)t 2 + 2ép(x,y)t + cp(x).
(*)
L'expression ci-dessus doit être ~ 0 pour tout t E R Supposons x et y E E fixés.
Si cp(y) = 0, nous devons avoir ép(x,y) = 0, et l'inégalité de Schwarz est vérifiée. Si
cp(y) =J 0, le membre de droite de ( *) est un trinôme du second degré en t, dont la valeur
est ~ 0 pour tout t E R En exprimant que le discriminant de ce trinôme est s 0, nous
obtenons l'inégalité de Schwarz.
D
S.6. Théorème. - Les hypothèses et notations sont celles de 5.1. Si la fonction f
admet en un point a intérieur à A un minimum relatif (resp., un maximum
relatif), et si f est deux fois différentiable en a, la forme quadratique associée
à sa différentielle seconde au point a est positive (resp., négative).
Preuve : Supposons par exemple que f admette en a un minimum relatif, et que f" (a) ne
soit pas positive. Il existe alors v E Etel que f"(a)(v, v)
s'écrit
J(a + x) - J(a) - ~J"(a)(x, x) = o(jjxjj 2 ).
Il existe donc TJ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant llxll s TJ et tel que a + x soit
intérieur à A,
1
M
IJ(a + x) - f(a) - 2J"(a)(x,x)I S 411xll 2 ,
donc
1
M
f(a + x) - f(a) S 2J"(a)(x, x) + 4 llxll 2 .
Soit V un voisinage de a dans E. Le point a étant intérieur à A, il existe e > 0 tel que pour
tout réel t vérifiant lti s e, a+ tw soit intérieur à A et élément de An V. Imposons de
plus es ry. Dans les mêmes conditions, nous avons litwil = itl s TJ et, d'après l'inégalité
précédente (dans laquelle nous faisons x = tw ),
f (a + tw) - f (a) S ( ~ - ~) itl 2 ,
ce qui prouve que pour 0 < ltl s e, f(a + tw) - J(a) est strictement négatif. Le point
a + tw étant élément de V n A, ceci contredit l'hypothèse selon laquelle f admet un
minimum relatif en a.
D
Les théorèmes 5.3 et 5.6 donnent, dans le cas où a est intérieur à A et f une fois ou deux
fois différentiable en a, des conditions nécessaires pour que f admette en a un minimum
relatif (ou un maximum relatif). Le théorème suivant donne une condition suffisante pour
que f admette en a un minimum relatif strict.