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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
la double inégalité précédente (dans laquelle nous faisons x = tw),
M(t-1~1) ~f(a+tw)-f(a)~M(t+ l~I),
ce qui prouve que f(a+tw)- f(a) est de même signe que t. Le point a+tw étant élément
de V n A, ceci prouve que f n' admet en a ni minimum relatif, ni maximum relatif. 0
Le théorème ci-dessus donne, sous certaines hypothèses, une condition nécessaire pour
que la fonction f admette un maximum relatif ou un minimum relatif en un point a.
Moyennant des hypothèses de différentiabilité de la fonction considérée plus fortes, nous
allons pouvoir formuler une condition nécessaire plus précise, et aussi des conditions
suffisantes. Pour cela, nous allons rappeler quelques notions sur les formes quadratiques.
5.4. Notions sur les formes quadratiques. - Soit E un espace vectoriel réel, et forme bilinéaire sur E. Nous supposons et y E E,
(p(x, y) =
1' application cp : E --+ IR définie par
cp(x) =
cp(x) 2: 0 pour tout x E E.
Par abus de langage, on dit aussi que la forme bilinéaire symétrique forme quadratique associée cp est positive.
c) Forme quadratique négative. - On dit que la forme quadratique cp est négative (ou,
par abus de langage, que la forme bilinéaire associée -cp est positive.
d) Forme quadratique coercive. - On dit que la forme quadratique cp est coercive s'il
existe . À > 0 tel que, pour tout x E E,
cp(x) 2: .Àllxll 2 .
Par abus de langage, on dit aussi que la forme bilinéaire symétrique forme quadratique associée cp est coercive.
Une forme quadratique coercive est évidemment positive.
e) Forme quadratique non dégénérée. - Considérons maintenant le cas où E est
un espace de Banach et où la forme bilinéaire symétrique alors (voir par exemple [T.IX.3.6]) un isomorphisme préservant la norme de .C(E 2 ; IR)
sur .C(E, .C(E, IR), associant à topologique E' = .C(E, IR) définie par
(
associée injective, c'est-à-dire si pour tout x E E, x f- 0, il existe y E Etel que
associée est un isomorphisme de E sur son dual, c'est-à-dire est bijective et d'inverse
continue.
Une forme quadratique coercive est évidemment non dégénérée.
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
la double inégalité précédente (dans laquelle nous faisons x = tw),
M(t-1~1) ~f(a+tw)-f(a)~M(t+ l~I),
ce qui prouve que f(a+tw)- f(a) est de même signe que t. Le point a+tw étant élément
de V n A, ceci prouve que f n' admet en a ni minimum relatif, ni maximum relatif. 0
Le théorème ci-dessus donne, sous certaines hypothèses, une condition nécessaire pour
que la fonction f admette un maximum relatif ou un minimum relatif en un point a.
Moyennant des hypothèses de différentiabilité de la fonction considérée plus fortes, nous
allons pouvoir formuler une condition nécessaire plus précise, et aussi des conditions
suffisantes. Pour cela, nous allons rappeler quelques notions sur les formes quadratiques.
5.4. Notions sur les formes quadratiques. - Soit E un espace vectoriel réel, et forme bilinéaire sur E. Nous supposons et y E E,
(p(x, y) =
1' application cp : E --+ IR définie par
cp(x) =
cp(x) 2: 0 pour tout x E E.
Par abus de langage, on dit aussi que la forme bilinéaire symétrique forme quadratique associée cp est positive.
c) Forme quadratique négative. - On dit que la forme quadratique cp est négative (ou,
par abus de langage, que la forme bilinéaire associée -cp est positive.
d) Forme quadratique coercive. - On dit que la forme quadratique cp est coercive s'il
existe . À > 0 tel que, pour tout x E E,
cp(x) 2: .Àllxll 2 .
Par abus de langage, on dit aussi que la forme bilinéaire symétrique forme quadratique associée cp est coercive.
Une forme quadratique coercive est évidemment positive.
e) Forme quadratique non dégénérée. - Considérons maintenant le cas où E est
un espace de Banach et où la forme bilinéaire symétrique alors (voir par exemple [T.IX.3.6]) un isomorphisme préservant la norme de .C(E 2 ; IR)
sur .C(E, .C(E, IR), associant à topologique E' = .C(E, IR) définie par
(
associée injective, c'est-à-dire si pour tout x E E, x f- 0, il existe y E Etel que
associée est un isomorphisme de E sur son dual, c'est-à-dire est bijective et d'inverse
continue.
Une forme quadratique coercive est évidemment non dégénérée.