§ 5. Maxima et minima relatifs
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4.6. Remarque. -
Supposons l'application f de classe C 00 • Nous pouvons alors
considérer la série
f(a) + f ~! f(k)(a)(hk).
k==l
Elle est appelée développement de Taylor de l'application f au point a. Sa convergence
ne peut être affirmée a priori. Lorsque cette série converge, il n'est pas posible d'affirmer
a priori que sa somme est égale à f(a + h).
Supposons E et F complets. L'application f est dite analytique dans U, ou de classe cw
dans U, si pour tout point a E U, il existe r > 0 tel que, pour tout h E E vérifiant
a+ h E U et llhll < r, le développement de Taylor de f au point a soit absolument
sommable, et de somme égale à f (a+ h). Les applications analytiques sont beaucoup plus
particulières que les applications de classe C 00 , et possèdent de remarquables propriétés.
5. Maxima et minima relatifs
5.1. Description du problème et notations. - Dans ce paragraphe, nous considérons
une fonction f définie sur une partie A d'un espace vectoriel normé E, à valeurs réelles.
Nous nous intéressons aux points de A où la fonction f présente un maximum relatif, ou un
minimum relatif (la définition précise de ces notions est indiquée ci-dessous). La formule
de Taylor établie dans le paragraphe précédent va donner, sous certaines hypothèses, des
méthodes permettant la détermination de ces points.
5.2. Définition. - On dit que la fonction f admet un minimum relatif (resp., un
minimum relatif strict) en un point a E A, s'il existe un voisinage V de a dans E
tel que, pour tout X E V n A, f(x) ~ f(a) (resp., pour tout X E V n A, X i- a,
f(x) > f(a)).
On dit que f admet un maximum relatif (resp., un maximum relatif strict) au point a
si la fonction - f admet un minimum relatif (resp., un minimum relatif strict) au
point a.
5.3. Théorème. - Si la fonction f admet en un point a intérieur à A un minimum
relatif, ou un maximum relatif, et si f est différentiable en a, sa différentielle en
ce point est nulle.
Preuve : Supposons f' (a) i- O. Il existe donc un élément v de E tel que f' (a) ( v) i- O. En
remplaçant si nécessaire v par -v, nous pouvons nous ramener au cas où f' (a) ( v) > O.
Posons w = v/llvll, et M = f'(a)(w). Nous avons évidemment M >O.
D'après la définition de la différentielle,
f(a + x) - f(a) - J'(a)(x) = o(llxll).
Il existe donc ' T/ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant llxll ' .S 'TJ et tel que a + x soit
intérieur à A,
M
IJ(a + x) - f(a) - J'(a)(x)I ' .S 2llxll,
donc
J'(a)(x) - ~ llxll ' .S f(a + x) - f(a) ' .S J'(a)(x) + ~ llxll ·
Soit V un voisinage de a dans E. Le point a étant intérieur à A, il existe e > 0 tel que
pour tout réel t vérifiant ltl :S e, a+ tw soit intérieur à A et élément de An V. Imposons
de plus e :::; ry. Nous avons alors, dans les mêmes conditions, lltwll = ltl :S ' TJ et, d'après
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4.6. Remarque. -
Supposons l'application f de classe C 00 • Nous pouvons alors
considérer la série
f(a) + f ~! f(k)(a)(hk).
k==l
Elle est appelée développement de Taylor de l'application f au point a. Sa convergence
ne peut être affirmée a priori. Lorsque cette série converge, il n'est pas posible d'affirmer
a priori que sa somme est égale à f(a + h).
Supposons E et F complets. L'application f est dite analytique dans U, ou de classe cw
dans U, si pour tout point a E U, il existe r > 0 tel que, pour tout h E E vérifiant
a+ h E U et llhll < r, le développement de Taylor de f au point a soit absolument
sommable, et de somme égale à f (a+ h). Les applications analytiques sont beaucoup plus
particulières que les applications de classe C 00 , et possèdent de remarquables propriétés.
5. Maxima et minima relatifs
5.1. Description du problème et notations. - Dans ce paragraphe, nous considérons
une fonction f définie sur une partie A d'un espace vectoriel normé E, à valeurs réelles.
Nous nous intéressons aux points de A où la fonction f présente un maximum relatif, ou un
minimum relatif (la définition précise de ces notions est indiquée ci-dessous). La formule
de Taylor établie dans le paragraphe précédent va donner, sous certaines hypothèses, des
méthodes permettant la détermination de ces points.
5.2. Définition. - On dit que la fonction f admet un minimum relatif (resp., un
minimum relatif strict) en un point a E A, s'il existe un voisinage V de a dans E
tel que, pour tout X E V n A, f(x) ~ f(a) (resp., pour tout X E V n A, X i- a,
f(x) > f(a)).
On dit que f admet un maximum relatif (resp., un maximum relatif strict) au point a
si la fonction - f admet un minimum relatif (resp., un minimum relatif strict) au
point a.
5.3. Théorème. - Si la fonction f admet en un point a intérieur à A un minimum
relatif, ou un maximum relatif, et si f est différentiable en a, sa différentielle en
ce point est nulle.
Preuve : Supposons f' (a) i- O. Il existe donc un élément v de E tel que f' (a) ( v) i- O. En
remplaçant si nécessaire v par -v, nous pouvons nous ramener au cas où f' (a) ( v) > O.
Posons w = v/llvll, et M = f'(a)(w). Nous avons évidemment M >O.
D'après la définition de la différentielle,
f(a + x) - f(a) - J'(a)(x) = o(llxll).
Il existe donc ' T/ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant llxll ' .S 'TJ et tel que a + x soit
intérieur à A,
M
IJ(a + x) - f(a) - J'(a)(x)I ' .S 2llxll,
donc
J'(a)(x) - ~ llxll ' .S f(a + x) - f(a) ' .S J'(a)(x) + ~ llxll ·
Soit V un voisinage de a dans E. Le point a étant intérieur à A, il existe e > 0 tel que
pour tout réel t vérifiant ltl :S e, a+ tw soit intérieur à A et élément de An V. Imposons
de plus e :::; ry. Nous avons alors, dans les mêmes conditions, lltwll = ltl :S ' TJ et, d'après