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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
4.4. Théorème [Formule de Taylor avec reste de Lagrange]. -
On suppose que l'application f est n + 1 fois différentiable dans U. Soit h E E tel que le segment
[a, a+ h] soit entièrement contenu dans U. Alors
n 1
llhlln+l
llf(a + h) - f(a) - L:-J(k)(a)(hk)ll ~
sup llf(n+l)(a + th)ll ·
k!
(n + 1)! O k=l
- -
Preuve: La fonction ' l/J : [O, 1] - t F, définie par
n (l t)k
'l/J(t) = f(a +th)+ L ~! f(k)(a + th)(hk),
k=l
est continue sur [O, l ], et dérivable sur JO, 1 [. D'après le lemme 4.3, elle a pour dérivée, en
tout point t E]O, l],
d'où l'inégalité
11'1/J'(t)ll ~ (l - t)n sup llJ(n+l)(a + ,\h)llllhlln+l ·
n!
09:9
En appliquant le théorème des accroissements finis, nous obtenons
11'1/J(l) - 'l/J(O)ll ~ llhlln+l [1 (l - t)n dt sup llJ(n+l)(a + ,\h)llJo n!
099
En remarquant que
'l/J(l) - 'l/J(O) = f(a + h) - f(a) - t ~!f(k)(a)(hk),
k=l
nous obtenons la formule indiquée.
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4.5. Théorème [Formule de Taylor avec reste intégral]. -
On suppose l'application
f de classe cn+l dans U, et l'espace vectoriel normé F complet. Soit h E E tel
que le segment [a, a+ h] soit entièrement contenu dans U. Alors
Preuve : Les notations utilisées sont les mêmes que dans la démonstration du théorème
précédent. Puisque j Nous avons donc (voir rappel sur l'intégration des fonctions vectorielles au chapitre V,
paragraphe V.2.4),
'l/J(l) - 'l/J(O) = fo
1 'l/J'(t) dt,
d'où la formule indiquée.
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