§ 4. La formule de Taylor
69
Choisissons T/ > 0 assez petit pour que la boule fermée de centre a et de rayon T/ soit
contenue dans V. Alors pour tout h E E vérifiant llhll ' .S rt. et tout t E JR; vérifiant
0 ' .S t ' .S 1, nous avons a+ th E V, !lthil ' .S T/. et
p-1 k
llf'(a +th) - J'(a) - L ~! J(k+l)(a)(hk)ll ' .S êllhllp-ltp-l.
k=l
Posons, pour tout t E JR; vérifiant 0 ' .S t ' .S 1,
p tk
L'application p-1 k
donc
p-1 k
ll
Nous en déduisons (théorème des accroissements finis 1.5 .1)
jj
lo
P
c'est-à-dire
ce qui établit le résultat annoncé.
D
4.3. Lemme. - On suppose que l'application f est n + 1 fois différentiable dans U
(avec n entier 2: 1). Soit h E E, et I un intervalle ouvert de JR; tel que pour tout
t E /, a+ th soit élément de U. L'application 'If; : I---+ F définie par
n (1 t)k
'lf;(t) = f(a +th)+ L :! j(k)(a + th)(hk)
k=l
est différentiable dans I et a pour dérivée
'lf;'(t) = (1 - t)n J(n+l)(a + th)(hn+l).
n!
Preuve: Il suffit de dériver terme à terme l'expression de 'If;. Nous avons en effet, pour tout
entier k vérifiant 1 ' .S k ' .S n,
!!_ ((1 - t)k J(a + th)(hk)) = (1 - t)k f(k+l)(a + th)(hk+l)
dt
k!
k!
- (1 - t)k-1 f(k)(a + th)(hk).
(k - 1)!
D
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Choisissons T/ > 0 assez petit pour que la boule fermée de centre a et de rayon T/ soit
contenue dans V. Alors pour tout h E E vérifiant llhll ' .S rt. et tout t E JR; vérifiant
0 ' .S t ' .S 1, nous avons a+ th E V, !lthil ' .S T/. et
p-1 k
llf'(a +th) - J'(a) - L ~! J(k+l)(a)(hk)ll ' .S êllhllp-ltp-l.
k=l
Posons, pour tout t E JR; vérifiant 0 ' .S t ' .S 1,
p tk
L'application p-1 k
donc
p-1 k
ll
Nous en déduisons (théorème des accroissements finis 1.5 .1)
jj
P
c'est-à-dire
ce qui établit le résultat annoncé.
D
4.3. Lemme. - On suppose que l'application f est n + 1 fois différentiable dans U
(avec n entier 2: 1). Soit h E E, et I un intervalle ouvert de JR; tel que pour tout
t E /, a+ th soit élément de U. L'application 'If; : I---+ F définie par
n (1 t)k
'lf;(t) = f(a +th)+ L :! j(k)(a + th)(hk)
k=l
est différentiable dans I et a pour dérivée
'lf;'(t) = (1 - t)n J(n+l)(a + th)(hn+l).
n!
Preuve: Il suffit de dériver terme à terme l'expression de 'If;. Nous avons en effet, pour tout
entier k vérifiant 1 ' .S k ' .S n,
!!_ ((1 - t)k J
dt
k!
k!
- (1 - t)k-1 f(k)(a + th)(hk).
(k - 1)!
D