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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
3.5. Quelques conséquences
a) Théorème d'inversion locale. - Reprenons les hypothèses et notations du théorème
d'inversion locale (11.2.4). Si, outre ces hypothèses, l'application f est de classe en, avec
n entier 2: 1, la restriction de f au voisinage ouvert V du point a est un difféomorphisme
de classe en de V sur l'ouvert f(V) de F.
b) Théorème des fonctions inverses. - De même, dans les hypothèses du corollaire
11.2.5 (forme globale du théorème des fonctions inverses), si, outre ces hypothèses,
l'application f est de classe en, n entier 2: 1, alors f est un difféomorphisme de classe
en.
c) Théorème des fonctions implicites. - De même encore, dans les hypothèses du
théorème des fonctions implicites (11.3.1), si en outre f est de classe en, avec n entier
2: 1, l'application h: W - t Fest de classe en.
4. La formule de Taylor
4.1. Hypothèses générales. - Dans tout ce paragraphe, f : U ---; F est une application
d'un ouvert U d'un espace vectoriel normé E dans un autre espace vectoriel normé F, et
a est un point de U. D'après la définition même de la différentielle d'une application,
lorsque f est différentiable au point a, elle est tangente en ce point, à l'ordre 1, à
l'application affine x ~ f(a) + f'(a)(x - a). Lorsque f est n fois différentiable en
a (n entier 2: 1), la formule de Taylor permet de préciser ce résultat, en montrant que f est
tangente en a à l'ordre n à une application polynomiale de degré n. Ce résultat est la forme
la plus simple de la formule de Taylor, appeléefonne asymptotique. Des hypothèses plus
fortes sur l'application f permettent de le préciser, et conduisent aux deux autres formes
de la formule de Taylor (avec reste de Lagrange, et avec reste intégral). Ces trois formes
de la formule de Taylor sont énoncées et démontrées ci-dessous.
4.2. Théorème [Formule de Taylor, forme asymptotique]. -
On suppose que l'application f est n fois différentiable en a (n entier 2: l). On a alors
f(a + h) - f(a) - t :, f(k)(a)(hk) = o(llhlln).
k=l
On a posé
f(k)(a)(hk) = f(k)(a)(h, ... , h), nfacteurs h, h E E.
Preuve : Pour n = 1, cette propriété résulte de la définition même de la diff~rentielle.
Supposons la établie pour n = p- l, et montrons qu'elle est vraie pour n = p, avec p 2: 2.
Puisque l'application f est au moins 2 fois différentiable en a, elle est différentiable
en tout point d'un voisinage ouvert V de a, V c U. L'application f' : V ---; F est
p - 1 fois différentiable en a. D'après l'hypothèse de récurrence, nous pouvons écrire,
puisque (f')(kl(a) = J(k+ 1 l(a),
p-1
J'(a + x) - J'(a) - L :,J(k+l)(a)(xk) = o(llxllp-l).
k=l
Donc pour tout E: > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant a + x E V et
llxll :S TJ,
p-1
llJ'(a + x) - J'(a) - L :,J(k+ll(a)(xk)ll :S t:llxllp-l _
k=l
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
3.5. Quelques conséquences
a) Théorème d'inversion locale. - Reprenons les hypothèses et notations du théorème
d'inversion locale (11.2.4). Si, outre ces hypothèses, l'application f est de classe en, avec
n entier 2: 1, la restriction de f au voisinage ouvert V du point a est un difféomorphisme
de classe en de V sur l'ouvert f(V) de F.
b) Théorème des fonctions inverses. - De même, dans les hypothèses du corollaire
11.2.5 (forme globale du théorème des fonctions inverses), si, outre ces hypothèses,
l'application f est de classe en, n entier 2: 1, alors f est un difféomorphisme de classe
en.
c) Théorème des fonctions implicites. - De même encore, dans les hypothèses du
théorème des fonctions implicites (11.3.1), si en outre f est de classe en, avec n entier
2: 1, l'application h: W - t Fest de classe en.
4. La formule de Taylor
4.1. Hypothèses générales. - Dans tout ce paragraphe, f : U ---; F est une application
d'un ouvert U d'un espace vectoriel normé E dans un autre espace vectoriel normé F, et
a est un point de U. D'après la définition même de la différentielle d'une application,
lorsque f est différentiable au point a, elle est tangente en ce point, à l'ordre 1, à
l'application affine x ~ f(a) + f'(a)(x - a). Lorsque f est n fois différentiable en
a (n entier 2: 1), la formule de Taylor permet de préciser ce résultat, en montrant que f est
tangente en a à l'ordre n à une application polynomiale de degré n. Ce résultat est la forme
la plus simple de la formule de Taylor, appeléefonne asymptotique. Des hypothèses plus
fortes sur l'application f permettent de le préciser, et conduisent aux deux autres formes
de la formule de Taylor (avec reste de Lagrange, et avec reste intégral). Ces trois formes
de la formule de Taylor sont énoncées et démontrées ci-dessous.
4.2. Théorème [Formule de Taylor, forme asymptotique]. -
On suppose que l'application f est n fois différentiable en a (n entier 2: l). On a alors
f(a + h) - f(a) - t :, f(k)(a)(hk) = o(llhlln).
k=l
On a posé
f(k)(a)(hk) = f(k)(a)(h, ... , h), nfacteurs h, h E E.
Preuve : Pour n = 1, cette propriété résulte de la définition même de la diff~rentielle.
Supposons la établie pour n = p- l, et montrons qu'elle est vraie pour n = p, avec p 2: 2.
Puisque l'application f est au moins 2 fois différentiable en a, elle est différentiable
en tout point d'un voisinage ouvert V de a, V c U. L'application f' : V ---; F est
p - 1 fois différentiable en a. D'après l'hypothèse de récurrence, nous pouvons écrire,
puisque (f')(kl(a) = J(k+ 1 l(a),
p-1
J'(a + x) - J'(a) - L :,J(k+l)(a)(xk) = o(llxllp-l).
k=l
Donc pour tout E: > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tout x E E vérifiant a + x E V et
llxll :S TJ,
p-1
llJ'(a + x) - J'(a) - L :,J(k+ll(a)(xk)ll :S t:llxllp-l _
k=l