L'inégalité ci-dessus montre donc que

pour expression

Pour alléger l'écriture, posons E = .C(E, F), F = .C(F, E). L'application

comme composée :
- de l'application

F, u r-t u- i .;
- de l'application de F dans F x F, v r-t ( v, v);
- de l'application de F x F dans .C(E, F), qui à (v, w) E F x F associe l'application
de E dans F: h r-t -v oh o w.
Nous voyons ainsi que

avons donc montré que

Montrons, par récurrence, que

entier n 2: 1. On vient de voir que cette propriété est vraie pour-n = 1. Supposons la vraie
pour n = p, avec p entier 2: 1. L'expression de

applications, indiquée ci-dessus, montre que

CP+l.
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3.3. Définition. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Un difféomorphisme
de classe en d'un ouvert U de E sur un ouvert V de F est une application bijective
1: U-> V, de classe en, et dont l'inverse 1-i : V-> U est également de classe
en.
Cette définition avait déjà été indiquée dans le cas où n = 1 (définition 11.1.1 ).
3.4. Proposition. - Soit 1 : U -> V un difféomorphisme de classe ci d'un ouvert U
d'un espace de Banach E sur un ouvert V d'un espace de Banach F. On suppose I
de classe en, avec n entier 2: 1. Alors 1-i est également de classe en; en d'autres
termes, I est un difféomorphisme de classe en.
Preuve : Pour n = 1, la propriété est évidemment vraie, puisque I est un difféomorphisme
de classe ci. Supposons la vraie pour n = p (avec p entier 2: 1) et montrons qu'elle est
vraie pour n = p + 1. On sait (11.1.2) que l'expression de la différentielle de 1-i en un
point y E V est
u-i)'(y) = (tu-i(y)) )-i
L'application u-i )' : V-> .C(F, E) est donc composée de:
- l'application 1-i : V-> U qui, d'après l'hypothèse de récurrence, est de classe CP;
-1' application I' : U -> Isom( E, F), qui est de classe CP, puisque I est de classe CP+ i;
- l'application u r-t u-i de Isom(E, F) dans Isom(F, E), qui d'après 3.2 est de classe
c=' donc a fortiori de classe CP.
D'après 3.1, u-i )'est de classe CP, donc 1-i est de classe cp+i.
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