(
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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
f(U) C V, et g : V ---+ G une application de V dans G. Pour tout entier n 2: 1,
si f est n fois différentiable en un point a E U et si g est n fois différentiable au
point b = f(a) E V (resp., si f est n fois différentiable sur U et si g est n fois
différentiable sur V, resp., si j est de classe en sur U et g de classe en sur V),
go f est n fois différentiable au point a (resp., n fois différentiable sur U, resp., de
classe en sur u).
Preuve : Nous traiterons par exemple le cas où f est n fois différentiable en a et où g
est n fois différentiable en b = f(a). Le cas où f et g sont de classe en se démontre de
manière tout à fait analogue.
La propriété à établir est vraie pour n = 1 (proposition 1.1.8). Supposons la vraie pour
n = p, avec p entier 2: 1, et montrons qu'elle est vraie pour n = p + 1. Supposons donc
que f soit p + 1 fois différentiable en au point a de U, et que g soit p + 1 fois différentiable
au point b = f(a) de V. Les différentielles premières f' de f et g' de g existent donc,
respectivement, sur un voisinage ouvert U1 de a et un voisinage ouvert Vi de b. Afortiori, f
et g sont continues, respectivement sur U1 et Vi. donc U{ = U1 n1- 1 (Vi) est un voisinage
ouvert de a, tel que f (un c Vi. D'après la proposition 1.1.8, go f est différentiable en
tout point x E U{, et a pour différentielle
(go J)'(x) = g'(f(x)) o J'(x).
L'application (go!)' : U{ ---+ L,(E, G) est composée de:
- l'application (!, f') : U{ ---+ F x L,(E, F), qui est p fois différentiable en a, puisque
ses deux composantes le sont;
-l'application de V x L,(E, F) dans L,(F, G) x L,(E, F), (y, 'lj;) ~ (g'(y), ' l/J), qui est
p fois différentiable au point ( b, f' ( b)), puisque g' est p fois différentiable en b, et que
l'application identique de L,(E, F) est p fois différentiable en tout point, en particulier au
point f' (b);
-l'application de L,(F, G) x L,(E, F) dans L,(E, G), (cp, ' 1/J) ~ cp o 'lj;, qui est bilinéaire
continue, donc de classe C 00 , et a fortiori p fois différentiable au point (g' (b), f' (a)).
L'hypothèse de récurrence montre alors que (g o !)' est p fois différentiable en a, donc
que g o f est p + 1 fois différentiable en a.
D
3.2. Proposition. -
Soient E et F deux espaces de Banach isomorphes, et
Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F (applications linéaires
bijectives continues ainsi que leurs inverses). L'application cp : lsom(E, F) ---+
lsom(F, E), définie par
cp(u) = u- 1 ,
est de classe e 00 • Sa différentielle, en un pointu E Isom(E, F), a pour expression
cp'(u)(h) = -u- 1 oh o u- 1 .
Preuve : Nous savons (voir par exemple [T.IX.4.4]) que Isom(E, F) est un ouvert de
L,(E, F), et que cp est un homéomorphisme de Isom(E, F) sur lsom(F, E). Montrons
que cp est différentiable en u E lsom(E, F). Nous avons, pour tout h E L,(E, F) tel que
u + h E lsom(E, F),
cp(u + h) - cp(u) = (u + h)- 1 - u- 1
= (u+h)- 1 o (u-(u+h)) ou- 1
=-(u+h)- 1 ohou- 1 .
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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
f(U) C V, et g : V ---+ G une application de V dans G. Pour tout entier n 2: 1,
si f est n fois différentiable en un point a E U et si g est n fois différentiable au
point b = f(a) E V (resp., si f est n fois différentiable sur U et si g est n fois
différentiable sur V, resp., si j est de classe en sur U et g de classe en sur V),
go f est n fois différentiable au point a (resp., n fois différentiable sur U, resp., de
classe en sur u).
Preuve : Nous traiterons par exemple le cas où f est n fois différentiable en a et où g
est n fois différentiable en b = f(a). Le cas où f et g sont de classe en se démontre de
manière tout à fait analogue.
La propriété à établir est vraie pour n = 1 (proposition 1.1.8). Supposons la vraie pour
n = p, avec p entier 2: 1, et montrons qu'elle est vraie pour n = p + 1. Supposons donc
que f soit p + 1 fois différentiable en au point a de U, et que g soit p + 1 fois différentiable
au point b = f(a) de V. Les différentielles premières f' de f et g' de g existent donc,
respectivement, sur un voisinage ouvert U1 de a et un voisinage ouvert Vi de b. Afortiori, f
et g sont continues, respectivement sur U1 et Vi. donc U{ = U1 n1- 1 (Vi) est un voisinage
ouvert de a, tel que f (un c Vi. D'après la proposition 1.1.8, go f est différentiable en
tout point x E U{, et a pour différentielle
(go J)'(x) = g'(f(x)) o J'(x).
L'application (go!)' : U{ ---+ L,(E, G) est composée de:
- l'application (!, f') : U{ ---+ F x L,(E, F), qui est p fois différentiable en a, puisque
ses deux composantes le sont;
-l'application de V x L,(E, F) dans L,(F, G) x L,(E, F), (y, 'lj;) ~ (g'(y), ' l/J), qui est
p fois différentiable au point ( b, f' ( b)), puisque g' est p fois différentiable en b, et que
l'application identique de L,(E, F) est p fois différentiable en tout point, en particulier au
point f' (b);
-l'application de L,(F, G) x L,(E, F) dans L,(E, G), (cp, ' 1/J) ~ cp o 'lj;, qui est bilinéaire
continue, donc de classe C 00 , et a fortiori p fois différentiable au point (g' (b), f' (a)).
L'hypothèse de récurrence montre alors que (g o !)' est p fois différentiable en a, donc
que g o f est p + 1 fois différentiable en a.
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3.2. Proposition. -
Soient E et F deux espaces de Banach isomorphes, et
Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F (applications linéaires
bijectives continues ainsi que leurs inverses). L'application cp : lsom(E, F) ---+
lsom(F, E), définie par
cp(u) = u- 1 ,
est de classe e 00 • Sa différentielle, en un pointu E Isom(E, F), a pour expression
cp'(u)(h) = -u- 1 oh o u- 1 .
Preuve : Nous savons (voir par exemple [T.IX.4.4]) que Isom(E, F) est un ouvert de
L,(E, F), et que cp est un homéomorphisme de Isom(E, F) sur lsom(F, E). Montrons
que cp est différentiable en u E lsom(E, F). Nous avons, pour tout h E L,(E, F) tel que
u + h E lsom(E, F),
cp(u + h) - cp(u) = (u + h)- 1 - u- 1
= (u+h)- 1 o (u-(u+h)) ou- 1
=-(u+h)- 1 ohou- 1 .