§ 3. Propriétés des différentielles d'ordre supérieur
65
La permutation composée T = À o µ o Œ vérifie T(l) = 1; nous pouvons donc la considérer
comme une permutation de { 2, 3, ... , p + 1 }, et écrire
(]' = µ-l o À-l o T = µ O À O T.
En utilisant les propriétés (*)et ( **) vérifiées, la première par les permutationsµ et T, la
seconde par la permutation À, nous voyons que Œ vérifie la propriété ( *** ).
O
2.4. Application au cas où E est un espace produit. - Soit E = G x H un produit de
deux espaces vectoriels normés G et H, U un ouvert de E et f : U --; F une application de
U dans un autre espace vectoriel normé F. Notons cette application (x, y) 1----t J(x, y), avec
x E G, y E H, (x, y) E U. Supposons f différentiable dans U et deux fois différentiable
en un point (a, b) E U. La différentielle f' ( x, y) de l'application f en un point ( x, y) E U
s'exprime, au moyen des différentielles partielles f~(x, y) et f~(x, y) de f en ce point
(proposition 1.3.2), par
J'(x, y)(h, k) = f~(x, y)(h) + f~(x, y)(k),
(h, k) E E = G x H.
Les différentielles partielles f~ : U --; C( G, F) et f~ : U --; C(H, F) sont différentiables
au point (a, b ), donc possèdent en ce point des différentielles partielles. Notons f::x (a, b) et
f~x (a, b) les différentielles partielles de f~ au point (a, b ), respectivement par rapport à la
variable x E G, et par rapport à la variable y E H. De même, notons J::y (a, b) et f ~y (a, b)
les différentielles partielles de f ~ au point (a, b), respectivement par rapport à la variable
x E G, et par rapport à la variable y EH. D'après leurs définitions, f::x(a, b), f~x(a, b),
J::y (a, b) et f~y (a, b ), appelées différentielles partielles secondes de f au point (a, b ), sont
éléments, respectivement, des espaces C( G, C( G, F)), C(H, C( G, F)), C( G, C(H, F))
et C(H, C(H, F)). Bien entendu (voir par exemple [T.IX.3.6]), ces espaces s'identifient,
par des isomorphismes préservant la norme, respectivementàC(G, G; F), C(H, G; F),
[,( G, H ; F) et[,( H, H ; F). La différentielle seconde f" (a, b) de f au point (a, b), qui
par définition n'est autre que la différentielle de f' en ce point, s'exprime, au moyen des
différentielles secondes de f en (a, b), par
J"(a, b)((h1, k1), (h2, kz)) = r:-r;(a, b)(h1, h2) + 1:x(a, b)(k1, h2)
+ f~y(a, b)(h1, kz) + J:y(a, b)(k1, kz),
avec (h1, k1) et (h2, kz) E E = G x H.
La symétrie de la différentielle seconde f" (a, b) se traduit par les relations
f~x(a, b)(h1, h2) = f~x(a, b)(h2, h1),
J; 11 (a, b)(k1, kz) = f~'y(a, b)(k2, k1),
f:x(a, b)(k1, h2) = f~y(a, b)(h2, k1),
f:x(a, b)(k2, h1) = f~y(a, b)(h1, kz).
Ces propriétés s'étendent sans difficulté aux différentielles d'ordre quelconque de f, et au
cas où l'espace E est un produit d'un nombre fini quelconque d'espaces vectoriels normés.
Dans le cas où U est un ouvert de JR 2 , les différentielles partielles secondes f::x(a,b),
gx(a, b), J:;y(a, b) et f~y(a, b) peuvent être considérées comme éléments de F, car
l'espace Fest isomorphe à C(JR, C(JR, F)), et les relations ci-dessus se réduisent à l'égalité
f~y(a, b) = f:x(a, b),
connue sous le nom de lemme de Schwarz.
3. Propriétés des différentielles d'ordre supérieur
3.1. Théorème. -
Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés, U un ouvert
de E, V un ouvert de F, f : U --; F une application de U dans F telle que
65
La permutation composée T = À o µ o Œ vérifie T(l) = 1; nous pouvons donc la considérer
comme une permutation de { 2, 3, ... , p + 1 }, et écrire
(]' = µ-l o À-l o T = µ O À O T.
En utilisant les propriétés (*)et ( **) vérifiées, la première par les permutationsµ et T, la
seconde par la permutation À, nous voyons que Œ vérifie la propriété ( *** ).
O
2.4. Application au cas où E est un espace produit. - Soit E = G x H un produit de
deux espaces vectoriels normés G et H, U un ouvert de E et f : U --; F une application de
U dans un autre espace vectoriel normé F. Notons cette application (x, y) 1----t J(x, y), avec
x E G, y E H, (x, y) E U. Supposons f différentiable dans U et deux fois différentiable
en un point (a, b) E U. La différentielle f' ( x, y) de l'application f en un point ( x, y) E U
s'exprime, au moyen des différentielles partielles f~(x, y) et f~(x, y) de f en ce point
(proposition 1.3.2), par
J'(x, y)(h, k) = f~(x, y)(h) + f~(x, y)(k),
(h, k) E E = G x H.
Les différentielles partielles f~ : U --; C( G, F) et f~ : U --; C(H, F) sont différentiables
au point (a, b ), donc possèdent en ce point des différentielles partielles. Notons f::x (a, b) et
f~x (a, b) les différentielles partielles de f~ au point (a, b ), respectivement par rapport à la
variable x E G, et par rapport à la variable y E H. De même, notons J::y (a, b) et f ~y (a, b)
les différentielles partielles de f ~ au point (a, b), respectivement par rapport à la variable
x E G, et par rapport à la variable y EH. D'après leurs définitions, f::x(a, b), f~x(a, b),
J::y (a, b) et f~y (a, b ), appelées différentielles partielles secondes de f au point (a, b ), sont
éléments, respectivement, des espaces C( G, C( G, F)), C(H, C( G, F)), C( G, C(H, F))
et C(H, C(H, F)). Bien entendu (voir par exemple [T.IX.3.6]), ces espaces s'identifient,
par des isomorphismes préservant la norme, respectivementàC(G, G; F), C(H, G; F),
[,( G, H ; F) et[,( H, H ; F). La différentielle seconde f" (a, b) de f au point (a, b), qui
par définition n'est autre que la différentielle de f' en ce point, s'exprime, au moyen des
différentielles secondes de f en (a, b), par
J"(a, b)((h1, k1), (h2, kz)) = r:-r;(a, b)(h1, h2) + 1:x(a, b)(k1, h2)
+ f~y(a, b)(h1, kz) + J:y(a, b)(k1, kz),
avec (h1, k1) et (h2, kz) E E = G x H.
La symétrie de la différentielle seconde f" (a, b) se traduit par les relations
f~x(a, b)(h1, h2) = f~x(a, b)(h2, h1),
J; 11 (a, b)(k1, kz) = f~'y(a, b)(k2, k1),
f:x(a, b)(k1, h2) = f~y(a, b)(h2, k1),
f:x(a, b)(k2, h1) = f~y(a, b)(h1, kz).
Ces propriétés s'étendent sans difficulté aux différentielles d'ordre quelconque de f, et au
cas où l'espace E est un produit d'un nombre fini quelconque d'espaces vectoriels normés.
Dans le cas où U est un ouvert de JR 2 , les différentielles partielles secondes f::x(a,b),
gx(a, b), J:;y(a, b) et f~y(a, b) peuvent être considérées comme éléments de F, car
l'espace Fest isomorphe à C(JR, C(JR, F)), et les relations ci-dessus se réduisent à l'égalité
f~y(a, b) = f:x(a, b),
connue sous le nom de lemme de Schwarz.
3. Propriétés des différentielles d'ordre supérieur
3.1. Théorème. -
Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés, U un ouvert
de E, V un ouvert de F, f : U --; F une application de U dans F telle que