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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
2.2. Lemme. -
Soient E et H deux espaces vectoriels normés, V un ouvert de E
et g une application de V dans H, On suppose que g est à valeurs dans un sousespace vectoriel fermé H 1 de H, et qu'elle est différentiable en un point a de V, Sa
différentielle g'(a) en ce point, qui est élément de L(E, H), applique en fait E dans
le sous-espace vectoriel H 1 de H. On peut donc la considérer comme un élément
de L(E, H1).
Preuve : Soit u E E. Considérons l'application, dont le domaine de définition contient un
intervalle ouvert I contenant l'origine,
t r---> g(a +tu).
D'après le théorème de différentiation des applications composées, cette application est
dérivable à l'origine, et sa dérivée en ce point est égale à g'(a)(u). Mais cette dérivée
s'exprime comme une limite:
'( )( )
1 .
g(a +tu) - g(a)
g a u = 1m
t-+0,t#O
t
Pour tout t E J, l'expression dont nous cherchons la limite est élément du sous-espace
vectoriel fermé H 1 de H. La limite g' (a) ( u) est donc nécessairement élément de H 1 . D
2.3. Théorème. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert
de E et f une application de U dans F. On suppose que f est n fois différentiable
en un point a de U (n entier 2: 2). Sa différentielle d'ordre n en ce point, J(n)(a),
est une application n fois multilinéaire continue, entièrement symétrique, de En
dans F.
Preuve : D'après le théorème 2.1, la propriété à établir est vraie pour n = 2. Supposons cette
propriété vraie pourtoutentier n vérifiant 2 :::; n :::; p, avec p entier 2: 2, et montrons qu'elle
est vraie pour n = p + 1. Par définition, f(P+ 1 )(a) est la différentielle en a de f(P), qui
existe sur un voisinage ouvert V de a, V c U. D'après l'hypothèse de récurrence, f(P) est
à valeurs dans le sous-espace vectoriel Ls(EP; F) de L(EP; F), qui est fermé d'après
le lemme 1.3. Mais le lemme 2.2 montre alors que sa différentielle au point a, c'est-à-dire
j(p+l) (a), est élément de L( E, Ls(EP ; F)). En d'autres termes, f(P+l) (a), considérée
comme application p + 1 fois multilinéaire continue de EP+ 1 dans F, est symétrique en
ses p derniers arguments, c'est-à-dire vérifie, pour tout (h 1, ... , hp+ 1) E EP+ 1 et toute
permutation r de { 2, 3, ... ,p + 1 },
f(p+l)(h1, hr(2)> · · ·, hr(p+1)) = f(P+ 1 \h1, hz, · · ·, hp+1) ·
(*)
D'autre part, J(p+l) (a) est la différentielle seconde au point a de f (p-1), définie sur le
voisinage V de a. Le théorème 2.1 montre que J(p+l)(a) est une application bilinéaire
symétrique continue de E 2 dans L(EP- 1 ; F). En d'autres termes, J(p+l) (a), considérée
comme application p + 1 fois multilinéaire continue de EP+ 1 dans F, est symétrique en
ses deux premiers arguments, c'est-à-dire vérifie, pour tout (h 1, ... , hp+ 1) E EP+1,
f(p+l)(h2, hi, h3, ... , hp+1) = f(p+l)(h1, h2, h3, ... , hp+1).
(**)
Soit a une permutation quelconque de { 1, 2, ... , p + 1 } . Nous allons montrer que, pour
tout (h1, ... ,hp+l) E EP+ 1 ,
J(p+l) (ha(l), ha(2)> · · ·, ha(p+l)) = J(p+l) (h1, h2, · · ·, hp+l) ·
( ***)
Si a(l) = 1 nous avons, pour tout entier i vérifiant 2:::; i:::; p + 1, a(i) = r(i), où Test
une permutation de { 2, 3, ... , p+ 1 }. La propriété (***)résulte alors de (*).Si a(l) = i,
avec 2 :::; i :::; p + 1, considérons les permutations À etµ de { 1, 2, ... , p + 1 } définies par
>.(1) = 2, >.(2) = 1, >.(j) = j pour 3:::; j :::; p + 1 ;
µ(2)=i, µ(i)=2, µ(k)=k pour kE{l, ... ,p+l}, k-::J2, k-::Ji.