§ 2. Symétrie des différentielles d'ordre supérieur
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Puisque f" (a) est la différentielle de f' au point a, pour tout é > 0, il existe rJ > 0 tel
que, pour tout z E U vérifiant llz - ail :S 'f),
llf'(z) - J'(a) - J"(a)(z - a)il :S éjjz - ail·
De plus, nous pouvons choisir rJ de telle sorte qu'il vérifie rJ < r. Imposons à u et x de
vérifier
llxll :Si·
Nous avons alors aussi
llu + xll :S 'fJ,
donc
llH'(x)ll :S é(liu + xll + llull + llxll) :S 2é(llull + llxll) ·
Nous avons aussi
llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)ll :S éllull ·
Imposons maintenant à v de vérifier
llvll :S i ·
Alors x = >.v, avec 0 :S >. :S 1, vérifie llxll :S rJ/2, donc
sup llH'(.Xv)ll :S 2é sup (iiull + 11.Xvll) = 2é(llull + llvll) ·
O~À~l
O~À~l
Nous en déduisons
llA(u, v) - J"(a)(u, v)ll :S é(3llull + 2llvll)llvll :S 2é(llull + llvli) 2 ·
Nous avons donc, pour tous u et v E E vérifiant llull :S rJ/2, llvll :S rJ/2,
llJ"(a)(u,v)- J"(a)(v,u)ll :S llJ"(a)(u,v)-A(u,v)ll + llA(u,v) - J"(a)(v,u)ll ·
Mais A vérifie évidemment
A(v, u) = A(u, v),
donc, en permutant les rôles de u et v,
llJ"(a)(u,v) - J"(a)(v,u)ll :S llJ"(a)(u,v) -A(u,v)ll + llA(v,u)- J"(a)(v,u)ll
:S 4é(liull + llvli) 2 .
Soient x et y deux éléments non nuls de E. Posons
'f}
'f}
u = 2llxllx,
v = 2jjyjjy.
D'après leur définition, u et v sont de norme rJ/2. Nous pouvons écrire, puisque f" (a) est
bilinéaire,
llJ"(a)(x, y) - J"(a)(y, x)ll :S l6é llxll llYll ·
Mais é > 0 étant arbitrairement petit, cela implique, pour tout couple (x, y) d'éléments
non nuls de E,
J" (a)(x, y) = J" (a)(y, x).
Cette même égalité reste évidemment vérifiée si x = 0 ou si y = 0, puisque dans ce cas
ses deux membres sont nuls.
D