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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
D'après l'hypothèse de récurrence, D(J + g) et D(Àf) sont m - 1 fois différentiables au
point a, et
c'est-à-dire
nm- 1 (D(J + g))(a) = nm- 1 (DJ)(a) + nm- 1 (Dg)(a),
nm- 1 (D(Àf))(a) = ÀDm- 1 (DJ)(a),
Dm(!+ g)(a) = Dmf(a) + Dmg(a), Dm(Àf)(a) = ÀDm f(a),
ce qui prouve que la propriété que nous voulons prouver est vraie pour n = m.
Les propriétés analogues concernant les espaces des applications n fois différentiables sur
U, ou de classe en sur U, s'en déduisent immédiatement.
o
2. Symétrie des différentielles d'ordre supérieur
2.1. Théorème. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E
et f une application de U dans F. On suppose f deux fois différentiable en un
point a EU. Sa différentielle seconde J"(a) au point a est élément de .Cs(E 2 ; .f),
c'est-à-dire est une application bilinéaire continue et symétrique de E 2 dans F.
Preuve : L'existence de f"(a) implique celle d'un réel r > 0 tel que la boule ouverte
B(a, r)soit contenue dans U et que f soit différentiable sur cette boule. Pour tous u et
v E E vérifiant llull < r /2, llvll < r /2, posons
A(u, v) = f(a + u + v) - f(a + u) - J(a + v) + J(a).
Nous pouvons écrire
A(u, v) - J"(a)(u, v) = f(a + u + v) - f(a + v) - J'(a + u)(v) + J'(a)(v)
- (f(a + u) - J(a))
+ (J'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)) (v).
Considérons momentanément u E B(O, r /2) comme fixé, et posons, pour tout élément x
de B(O, r /2),
H(x) = J(a + u + x) - J(a + x) - J'(a + u)(x) + J'(a)(x).
Nous pouvons alors écrire
A(u, v) - J"(a)(u, v) = H(v) - H(O) + (f'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)) (v),
donc, d'après Je théorème des accroissements finis,
llA(u,v) -J"(a)(u,v)ll
:S llH(v) - H(O)ll + llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)llllvll
:::; ( sup llH'(Àv)ll + llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)ll) llvll ·
099
Mais d'autre part
donc
H'(x) = J'(a + u + x) - J'(a + x) - J'(a + u) + J'(a)
= J'(a + u + x) - J'(a) - J"(a)(u + x)
- (f'(a + x) - J'(a) - J"(a)(x))
- (f'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)),
llH'(x)ll :::; llJ'(a + u + x) - J'(a) - J"(a)(u + x)ll
+ llJ'(a + x) - J'(a) - J"(a)(x)ll
+ llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)ll ·
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
D'après l'hypothèse de récurrence, D(J + g) et D(Àf) sont m - 1 fois différentiables au
point a, et
c'est-à-dire
nm- 1 (D(J + g))(a) = nm- 1 (DJ)(a) + nm- 1 (Dg)(a),
nm- 1 (D(Àf))(a) = ÀDm- 1 (DJ)(a),
Dm(!+ g)(a) = Dmf(a) + Dmg(a), Dm(Àf)(a) = ÀDm f(a),
ce qui prouve que la propriété que nous voulons prouver est vraie pour n = m.
Les propriétés analogues concernant les espaces des applications n fois différentiables sur
U, ou de classe en sur U, s'en déduisent immédiatement.
o
2. Symétrie des différentielles d'ordre supérieur
2.1. Théorème. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E
et f une application de U dans F. On suppose f deux fois différentiable en un
point a EU. Sa différentielle seconde J"(a) au point a est élément de .Cs(E 2 ; .f),
c'est-à-dire est une application bilinéaire continue et symétrique de E 2 dans F.
Preuve : L'existence de f"(a) implique celle d'un réel r > 0 tel que la boule ouverte
B(a, r)soit contenue dans U et que f soit différentiable sur cette boule. Pour tous u et
v E E vérifiant llull < r /2, llvll < r /2, posons
A(u, v) = f(a + u + v) - f(a + u) - J(a + v) + J(a).
Nous pouvons écrire
A(u, v) - J"(a)(u, v) = f(a + u + v) - f(a + v) - J'(a + u)(v) + J'(a)(v)
- (f(a + u) - J(a))
+ (J'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)) (v).
Considérons momentanément u E B(O, r /2) comme fixé, et posons, pour tout élément x
de B(O, r /2),
H(x) = J(a + u + x) - J(a + x) - J'(a + u)(x) + J'(a)(x).
Nous pouvons alors écrire
A(u, v) - J"(a)(u, v) = H(v) - H(O) + (f'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)) (v),
donc, d'après Je théorème des accroissements finis,
llA(u,v) -J"(a)(u,v)ll
:S llH(v) - H(O)ll + llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)llllvll
:::; ( sup llH'(Àv)ll + llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)ll) llvll ·
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Mais d'autre part
donc
H'(x) = J'(a + u + x) - J'(a + x) - J'(a + u) + J'(a)
= J'(a + u + x) - J'(a) - J"(a)(u + x)
- (f'(a + x) - J'(a) - J"(a)(x))
- (f'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)),
llH'(x)ll :::; llJ'(a + u + x) - J'(a) - J"(a)(u + x)ll
+ llJ'(a + x) - J'(a) - J"(a)(x)ll
+ llJ'(a + u) - J'(a) - J"(a)(u)ll ·