§ 1. Définition et propriétés élémentaires
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b) Si l'application f est n fois différentiable en un point a E U (avec n entier 2 2),
il existe nécessairement un voisinage ouvert V de a, V c U, tel que f soit n - 1 fois
différentiable dans V. En effet, J(n) (a) étant, par définition, la différentielle de J(n-l) en
a, son existence suppose celle de J(n-l) sur un voisinage ouvert de a.
c) Si f est n fois différentiable dans U (avec n entier 2 2), elle est de classe cn-l dans
U, car J(n-l), étant différentiable en tout point de U, est continue sur U. Si f est de classe
en dans U, elle est aussi de classe cm dans U pour tout entier m vérifiant O ::; m ::; n.
d) Si f est m + n fois différentiable en un point a E U, met n étant des entiers tous deux
> 0, le point a possède un voisinage ouvert V c U tel que f soit n fois différentiable dans
V. La différentielle d'ordre n de f en a, J(n), est m fois différentiable au point a, et sa
différentielle d'ordre m, (j(n)) (m) (a), n'est autre que J(m+n)(a), différentielle d'ordre
m + n, de f au point a.
1.8. Quelques exemples
a) Applications constantes. - Toute application constante d'un ouvert U d'un espace
vectoriel normé E dans un espace vectoriel normé F est de classe C 00 , et ses différentielles
de tous ordres 2 1 sont identiquement nulles.
b) Applications linéaires. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Toute
application linéaire continue f E .C(E, F) est de classe C 00 , et pour tout x E U,
f' ( x) = f; la différentielle première f' de f étant constante, pour tout entier k 2 2,
sa différentielle d'ordre k, J(k), est identiquement nulle.
c) Applications bilinéaires et multilinéaires. - Soient Ei, E2 et F trois espaces
vectoriels normés. Toute application bilinéaire continue f E .C(E1, E2 ; F) est de classe
C 00 • Sa différentielle première est l'application linéaire de E1 X E2 dans .C(E1 X E2, F)
(x1, x2) f---+ J' (x1, x2); avec J' (x1, x2) (h1, h2) = J (h1, x2) + J (x1, h2) ,
où (x 1 , x2) et (h1, h2) sont éléments de E 1 x E 2 . La différentielle seconde de J est donc
constante, et a pour expression
J" (Xi, X2) ( ( h1, h2), ( ki, k2)) = f ( h1, k2) + f ( ki, h2) ·
Pour tout entier k 2 3, la différentielle d'ordre k de f est identiquement nulle.
Ces propriétés s'étendent aisément au cas d'une application p fois multilinéaire continue
(pétant un entier 2 1 quelconque).
1.9. Proposition. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert
de E et f une application de U dans F. Pour tout entier n 2 1, l'ensemble
des applications de U dans F n fois différentiables en un point a de U (resp.,
n fois différentiables sur U, resp., de classe en sur U) est un espace vectoriel, et
l'application qui associe à une application élément de cet espace sa différentielle
d'ordre n au point a (resp., sa différentielle d'ordre n) est linéaire.
Preuve : Montrons que l'ensemble des applications de U dans F n fois différentiables en
un point a de U est un espace vectoriel et que l'application qui associe à un élément de
cet espace sa différentielle d'ordre n au point a est linéaire. Cette propriété est vraie pour
n = 1 (proposition 1.1.10). Supposons la vraie pour n ::; m - 1, avec m 2 2. Soient J et g
deux applications m fois différentiabes au point a, et À E OC un scalaire. Les applications
f et g sont m - 1 fois différentiables sur un voisinage du point a, et leurs différentielles
D f et Dg sont m - 1 fois différentiables au point a. Donc D(J + g) et D( Àj) existent
sur un voisinage du point a et vérifient
D(J+g)=DJ+Dg,
D(ÀJ) = ÀDf.
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b) Si l'application f est n fois différentiable en un point a E U (avec n entier 2 2),
il existe nécessairement un voisinage ouvert V de a, V c U, tel que f soit n - 1 fois
différentiable dans V. En effet, J(n) (a) étant, par définition, la différentielle de J(n-l) en
a, son existence suppose celle de J(n-l) sur un voisinage ouvert de a.
c) Si f est n fois différentiable dans U (avec n entier 2 2), elle est de classe cn-l dans
U, car J(n-l), étant différentiable en tout point de U, est continue sur U. Si f est de classe
en dans U, elle est aussi de classe cm dans U pour tout entier m vérifiant O ::; m ::; n.
d) Si f est m + n fois différentiable en un point a E U, met n étant des entiers tous deux
> 0, le point a possède un voisinage ouvert V c U tel que f soit n fois différentiable dans
V. La différentielle d'ordre n de f en a, J(n), est m fois différentiable au point a, et sa
différentielle d'ordre m, (j(n)) (m) (a), n'est autre que J(m+n)(a), différentielle d'ordre
m + n, de f au point a.
1.8. Quelques exemples
a) Applications constantes. - Toute application constante d'un ouvert U d'un espace
vectoriel normé E dans un espace vectoriel normé F est de classe C 00 , et ses différentielles
de tous ordres 2 1 sont identiquement nulles.
b) Applications linéaires. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Toute
application linéaire continue f E .C(E, F) est de classe C 00 , et pour tout x E U,
f' ( x) = f; la différentielle première f' de f étant constante, pour tout entier k 2 2,
sa différentielle d'ordre k, J(k), est identiquement nulle.
c) Applications bilinéaires et multilinéaires. - Soient Ei, E2 et F trois espaces
vectoriels normés. Toute application bilinéaire continue f E .C(E1, E2 ; F) est de classe
C 00 • Sa différentielle première est l'application linéaire de E1 X E2 dans .C(E1 X E2, F)
(x1, x2) f---+ J' (x1, x2); avec J' (x1, x2) (h1, h2) = J (h1, x2) + J (x1, h2) ,
où (x 1 , x2) et (h1, h2) sont éléments de E 1 x E 2 . La différentielle seconde de J est donc
constante, et a pour expression
J" (Xi, X2) ( ( h1, h2), ( ki, k2)) = f ( h1, k2) + f ( ki, h2) ·
Pour tout entier k 2 3, la différentielle d'ordre k de f est identiquement nulle.
Ces propriétés s'étendent aisément au cas d'une application p fois multilinéaire continue
(pétant un entier 2 1 quelconque).
1.9. Proposition. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert
de E et f une application de U dans F. Pour tout entier n 2 1, l'ensemble
des applications de U dans F n fois différentiables en un point a de U (resp.,
n fois différentiables sur U, resp., de classe en sur U) est un espace vectoriel, et
l'application qui associe à une application élément de cet espace sa différentielle
d'ordre n au point a (resp., sa différentielle d'ordre n) est linéaire.
Preuve : Montrons que l'ensemble des applications de U dans F n fois différentiables en
un point a de U est un espace vectoriel et que l'application qui associe à un élément de
cet espace sa différentielle d'ordre n au point a est linéaire. Cette propriété est vraie pour
n = 1 (proposition 1.1.10). Supposons la vraie pour n ::; m - 1, avec m 2 2. Soient J et g
deux applications m fois différentiabes au point a, et À E OC un scalaire. Les applications
f et g sont m - 1 fois différentiables sur un voisinage du point a, et leurs différentielles
D f et Dg sont m - 1 fois différentiables au point a. Donc D(J + g) et D( Àj) existent
sur un voisinage du point a et vérifient
D(J+g)=DJ+Dg,
D(ÀJ) = ÀDf.