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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
Il est facile de vérifier que Xr est une isomorphisme préservant la norme de C(Ek ; F)
sur lui-même. Le noyau de l'application de C(Ek; F) dans lui-même,

est donc un sous-espace vectoriel fermé de C( Ek ; F). Mais Cs ( Ek ; F) n'est autre que
l'intersection de ces noyaux, lorsque T parcourt l'ensemble de toutes les permutations de
{ 1, 2, ... , k }. C'est donc un sous-espace vectoriel fermé de C(Ek ; F).
O
1.4. Corollaire. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, F étant complet.
Pour tout entier k 2: 2, l'espace Cs(Ek ; F) des applications k fois multilinéaires
continues et entièrement symétriques de Ek dans F est complet.
Preuve : On sait en effet (voir par exemple [T.IX.3.7]) que C(Ek ; F) est complet, et que
tout sous-espace fermé d'un espace métrique complet est complet.
D
1.5. Les différentielles d'ordre supérieur d'une application. - Soient E et F deux
espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et f une application de U dans F. Supposons f
différentiable dans U, et notons f' sa différentielle. Avec les notations du lemme 1.1, f'
est une application de U dans F 1 = C(E, F). Si elle est différentiable en un point a E U,
sa différentielle (!')' (a) en ce point, appelée différentielle seconde de f au point a, est un
élément de F2 = C(E, F 1 ); elle est notée J"(a) ou D 2 J(a).
Soit k un entier 2: 1. Supposons qu'en appliquant plusieurs fois Je raisonnement ci-dessus,
nous ayons défini, en tout point x d'un ouvert V de E, V c U, la différentielle d'ordre k
de f en x, notée j(k) (x ). La différentielle d'ordre k de f est l'application J(k) : V ~ Fk>
x 1--+ J(k) (x ). Si cette application est différentiable en un point a de V, sa différentielle en
ce point est, par définition, la différentielle d'ordre k + 1 de f au point a. C'est un élément
de J'espace Fk+l = C(E, Fk), noté J(k+l) (a), ou D(k+l) f(a).
Le lemme 1.1 permet d'identifier, pour tout entier k 2: 1, l'espace Fk avec l'espace
C(Ek ; F) des applications k fois multilinéaires continues de Ek dans F. Nous pouvons
donc considérer la différentielle J(k)(a) de f en un point a de U, si elle existe, comme
un élément de C(Ek ; F), et la différentielle J(k) de f, si elle existe en tout point de U,
comme une application de U dans C(Ek ; F).
Ces considérations sont formalisées dans les définitions suivantes.
1.6. Définitions. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E
et f une application de U dans F. On suppose que f est n - 1 fois différentiable
dans U, n étant un entier 2: 2, et on note J(n-l) : U ~ Fn-l = C(En-l ; F) sa
différentielle d'ordre n - l.
On dit que f est nfois différentiable en un point a de U si J(n-l) est différentiable
en a. La différentielle de j(n-l) en a est appelée différentielle d'ordre n de f en a, et
notée J(n)(a).
On dit que f est nfois différentiable dans U si elle est n fois différentiable en tout
point de U. Sa différentielle d'ordre n, notée J(n), est l'application qui associe à
chaque point x de U la différentielle d'ordre n de f en x, J(n)(x).
On dit que J est de classe en dans U si elle est n fois différentiable dans U et si
sa différentielle d'ordre n est continue dans U.
On dit que f est de classe C 00 dans U si, pour tout entier n 2: 1, elle est de classe
en dans u, c'est-à-dire si elle possède sur u des différentielles de tous ordres
continues.
1.7. Remarques. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et
f une application de U dans F.
a) Par commodité, on pose f(o) = f, et on convient de dire que f est de classe e 0 sur U
si elle est continue sur U.