Chapitre 111
Différentielles d'ordre supérieur
Nous étudions dans ce chapitre les propriétés des différentielles d'ordre supérieur d'une
application, en particulier leurs symétries. Nous serons amenés à introduire la notion de
difféomorphisme de classe CP, et à compléter les énoncés des théorèmes d'inversion locale
et des fonctions implicites donnés dans le chapitre précédent. Nous présenterons plusieurs
formes de la formule de Taylor. Nous traiterons enfin de l'application du calcul différentiel
à la recherche des maxima ou minima relatifs d'une fonction différentiable, éventuellement
en présence de liaisons.
1. Définition et propriétés élémentaires
1.1. Lemme. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés. On note F0 = F,
F1 = .C(E, F) (espace des applications linéaires continues de E dans F), et, pour
tout entier k 2: 1, Fk = .C(E, Fk-l) (espace des applications linéaires continues
de E dans Fk- 1 ). Pour tout entier k 2: 1, Fk s'identifie, par un isomorphisme
préservant la norme, à l'espace .C(Ek ; F) des applications k fois multilinéaires
continues de Ek =Ex · · · x E (k facteurs) dans F.
Preuve:Lapropriétéestvraiepourk = l,puisqueE 1 = E,.C(E 1 ; F) = .C(E,F) = F 1.
Supposons la vraie pour k = p, avec p entier 2: 1, et montrons qu'elle est vraie pour
k = p + 1. D'après l'hypothèse de récurrence, Fp s'identifie, par un isomorphisme
préservant la norme, à .C(EP ; F). L'espace Fp+l s'identifie donc, par un isomorphisme
préservant la norme, à .C(E,.C(EP; F)). Mais (voir par exemple [T.IX.3.6]) celui-ci
s'identifie, par un isomorphisme préservant la norme, à .C(EP+ 1 ; F).
D
1.2. Remarque. - La définition de l'isomorphisme préservant la norme qui permet
d'identifier Fk à .C(Ek ; F) est simple et naturelle (voir par exemple [T.IX.3.6]). Pour
k = p + 1 (avec p entier 2' . 1), et en supposant Fp déjà identifié à .C(EP ; F), cet
isomorphisme associe à chaque élément cp de .C(E, .C(EP ; F)) l'application de EP+ 1
dans F: (x1, ... ,xp+1) 1--+ (cp(xi))(x2, ... ,Xp+i)·
1.3. Lemme. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et k un entier
2' . 2. L'ensemble des applications k fois multilinéaires continues et entièrement
symétriques de Ek dans F, c'est-à-dire l'ensemble des éléments cp de .C(Ek ; F)
qui vérifient, pour tout (h1 , ... , hk) E Ek et toute permutation T de { 1, 2, ... , k },
cp(hr(l)> · · ·, hr(k)) = cp(h1, ·. ·, hk),
est un sous-espace vectoriel fermé de .C(Ek ; F). On le notera .Cs(Ek ; F).
Preuve: Pour toute permutation T de { 1, 2, ... , k }, soit Xr : .C(Ek ; F) ~ .C(Ek ; F)
l'application définie par
(Xr(cp))(h1, · · ·, hk) = cp(hr(l)• · · ·, hr(k)) ·
Différentielles d'ordre supérieur
Nous étudions dans ce chapitre les propriétés des différentielles d'ordre supérieur d'une
application, en particulier leurs symétries. Nous serons amenés à introduire la notion de
difféomorphisme de classe CP, et à compléter les énoncés des théorèmes d'inversion locale
et des fonctions implicites donnés dans le chapitre précédent. Nous présenterons plusieurs
formes de la formule de Taylor. Nous traiterons enfin de l'application du calcul différentiel
à la recherche des maxima ou minima relatifs d'une fonction différentiable, éventuellement
en présence de liaisons.
1. Définition et propriétés élémentaires
1.1. Lemme. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés. On note F0 = F,
F1 = .C(E, F) (espace des applications linéaires continues de E dans F), et, pour
tout entier k 2: 1, Fk = .C(E, Fk-l) (espace des applications linéaires continues
de E dans Fk- 1 ). Pour tout entier k 2: 1, Fk s'identifie, par un isomorphisme
préservant la norme, à l'espace .C(Ek ; F) des applications k fois multilinéaires
continues de Ek =Ex · · · x E (k facteurs) dans F.
Preuve:Lapropriétéestvraiepourk = l,puisqueE 1 = E,.C(E 1 ; F) = .C(E,F) = F 1.
Supposons la vraie pour k = p, avec p entier 2: 1, et montrons qu'elle est vraie pour
k = p + 1. D'après l'hypothèse de récurrence, Fp s'identifie, par un isomorphisme
préservant la norme, à .C(EP ; F). L'espace Fp+l s'identifie donc, par un isomorphisme
préservant la norme, à .C(E,.C(EP; F)). Mais (voir par exemple [T.IX.3.6]) celui-ci
s'identifie, par un isomorphisme préservant la norme, à .C(EP+ 1 ; F).
D
1.2. Remarque. - La définition de l'isomorphisme préservant la norme qui permet
d'identifier Fk à .C(Ek ; F) est simple et naturelle (voir par exemple [T.IX.3.6]). Pour
k = p + 1 (avec p entier 2' . 1), et en supposant Fp déjà identifié à .C(EP ; F), cet
isomorphisme associe à chaque élément cp de .C(E, .C(EP ; F)) l'application de EP+ 1
dans F: (x1, ... ,xp+1) 1--+ (cp(xi))(x2, ... ,Xp+i)·
1.3. Lemme. -
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et k un entier
2' . 2. L'ensemble des applications k fois multilinéaires continues et entièrement
symétriques de Ek dans F, c'est-à-dire l'ensemble des éléments cp de .C(Ek ; F)
qui vérifient, pour tout (h1 , ... , hk) E Ek et toute permutation T de { 1, 2, ... , k },
cp(hr(l)> · · ·, hr(k)) = cp(h1, ·. ·, hk),
est un sous-espace vectoriel fermé de .C(Ek ; F). On le notera .Cs(Ek ; F).
Preuve: Pour toute permutation T de { 1, 2, ... , k }, soit Xr : .C(Ek ; F) ~ .C(Ek ; F)
l'application définie par
(Xr(cp))(h1, · · ·, hk) = cp(hr(l)• · · ·, hr(k)) ·