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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
ce qui prouve que g est un élément inversible de .c( .C(E, E), .C(E, E)).
2) On démontre comme dans les exercices 7 ou 8 que f : .C(E, E) ---+ .C(E, E), M >---> f (M) = M 2 , est de
classe C 1 et que sa différentielle au point M est f' (M) X = Mo X+ X o M. Soit alors A E B1 . D'après
la question précédente, f' (A) est un élément inversible de .c( .C(E, E), .C(E, E)).
3) La série entière E:=o antn a pour rayon de convergence 1. Soit X E .C(E, E). La série E:=o anXn
est donc normalement convergente dès que llXll < 1 (voir par exemple [T.IX.4.2]), et sa somme est un élément
(X) de .C(E, E). On définit ainsi une application de Bo dans .C(E, E).
Puisque ao = 1, 11(X) - Ill ~ E:=l lanl /IX/ln. La suite (an, n EN*) est alternée: pour tout n EN*,
lanl = (-l)n+lan, donc E:=l lanl /IXlln = - L~i (an)(-/IXll)n = 1 - J1 - llXll < l. Ainsi
11(X) - Ill ~ 1, ce qui prouve que (X) E Bi.
Le calcul donne f ((X)) = ((X))
2 = I + X. II suffit en effet de remarquer que pour tout t E J - 1, 1 [,
( E:=o antn)
2 = 1 + t, et que chacun des termes de la série E:=o anXn commute avec tous les autres;
le calcul des coefficients de la série produit se fait dans les deux cas de la même manière.
Soit h : Bi ---+ Bo l'application h(M) = f(M)-I. On vérifie que ho = id13 0 , où id13 0 désigne l'application
identique de Bo. Ceci montre que est une application injective.
On déduit des résultats de la question 2que l'application hestdeclasse C 1 et que, pour A E Bi, h' (A) = J' (A),
donc que h' (A) est inversible.
Soit B E Bo et A = (B). L'application du théorème d'inversion locale 2.4 à h, au voisinage de A, permet
d'affirmer l'existence d'un voisinage U de A contenu dans Bi tel que h soit un C 1 -difféomorphisme de U
;ur l'ouvert f(U) de Bo. L'application réciproque h- 1 est donc égale à la restriction de à h(U), qui est un
voisinage ouvert de B dans Bo. Ainsi, l'application est de classe C 1 sur Bo. Mais on a vu précédemment
que est injective. Les propriétés établies permettent d'appliquer à la forme globale du théorème d'inversion
(corollaire 2.5) et de conclure que est un C 1 -difféomorphisme de Bo sur (B0 ).