§ S. Solutions
57
convient, à condition de choisir les constantes réelles À et µ de manière telle que les conditions l(O) = O et
!(1) = 0 soient satisfaites. On trouveµ= 0, puis À= j 0
1 ( j 0
8 h(u) du) ds. Cela donne l'expression del et,
simultanément, prouve son existence. Ainsi, f' ( 0) est inversible.
3 b) Il s'agit ici de montrer que, si 9 E Fest assez petit, en norme, l'équation différentielle f (y) = 9, d'inconnue
y E E, admet au moins une solution. Appliquons à la fonction f le théorème d'inversion locale 2.4 au voisinage
de 0 : il existe un voisinage V de 0 dans E tel que la restriction de f à V soit un C 1 -difféomorphisme de V sur
le voisinage ouvert f(V) de f(O) = 0 dans F. Le voisinage f(V) de 0 contient une boule ouverte, centrée
sur ce point et de rayon i:: > O. Si l'élément 9 de F appartient à cette boule, c'est-à-dire s'il vérifie 11911 < i::, il
existe X dans Etel que J(X) = 9, c'est-à-dire -X" + X 3 = 9.
Solution Il.10.
1) Nous avons, pour tout f E E,
2) Pour tous (J,9) E Ex Eetx E [O, 1], on a
11"
1 ( 1/J(J) -1/;(9)) (x) 1 ~ IJ(x) - 9(x)I - 2 0 IJ(t) - 9(t)l IJ(t) + 9(t)I dt
11"
~ IJ(x) - 9(x)I - 2 0 IJ(t) - 9(t)I (IJ(t)I + l9(t)I) dt
1
~ IJ(x) - 9(x)I - 2CllJll + ll9IDllJ- 911
d'où le résultat
111/J(J) -1/;(9)11 ~ ( 1 - ~(llJll + 11911)) Il! - 911 ·
Supposons de plus f et 9 E 13, c'est-à-dire 11!11 < 1et11911 < 1. Dans ce cas, 1 - (ll!ll + 11911)/2 > 0, donc
111/J(J) -1/;(9)!1 = 0 entraîne Il! - 911 = 0, ce qui prouve que la restriction de 1/J à 13 est injective.
3) L'application 1/J = I + (1/2) 1/J'(f) = I + (1/2) de .C(E, E). L'application 1/J vérifie sur l'ouvert 13 toutes les hypothèses du corollaire 2.5 (forme glogale du
théorème d'inversion). La restriction de 1/J à 13 est donc un C 1 -difféomorphisme de 13sur1/;(13).
Solution Il.11.
1) Notons I l'application identique de .C(E, E). Pour tout X E .C(E, E), nous avons
1
1
(9 - z) (X)= 2(I - A) 0 X+ 2x 0 (I - A).
En utilisant les propriétés des normes dans .C(E, E), nous en déduisons Il (9 - z) (X)ll ::; III - Ali llXll. Il
en résulte, puisque A E 131.
119 - Ill ::; III - Ali < 1,
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convient, à condition de choisir les constantes réelles À et µ de manière telle que les conditions l(O) = O et
!(1) = 0 soient satisfaites. On trouveµ= 0, puis À= j 0
1 ( j 0
8 h(u) du) ds. Cela donne l'expression del et,
simultanément, prouve son existence. Ainsi, f' ( 0) est inversible.
3 b) Il s'agit ici de montrer que, si 9 E Fest assez petit, en norme, l'équation différentielle f (y) = 9, d'inconnue
y E E, admet au moins une solution. Appliquons à la fonction f le théorème d'inversion locale 2.4 au voisinage
de 0 : il existe un voisinage V de 0 dans E tel que la restriction de f à V soit un C 1 -difféomorphisme de V sur
le voisinage ouvert f(V) de f(O) = 0 dans F. Le voisinage f(V) de 0 contient une boule ouverte, centrée
sur ce point et de rayon i:: > O. Si l'élément 9 de F appartient à cette boule, c'est-à-dire s'il vérifie 11911 < i::, il
existe X dans Etel que J(X) = 9, c'est-à-dire -X" + X 3 = 9.
Solution Il.10.
1) Nous avons, pour tout f E E,
2) Pour tous (J,9) E Ex Eetx E [O, 1], on a
11"
1 ( 1/J(J) -1/;(9)) (x) 1 ~ IJ(x) - 9(x)I - 2 0 IJ(t) - 9(t)l IJ(t) + 9(t)I dt
11"
~ IJ(x) - 9(x)I - 2 0 IJ(t) - 9(t)I (IJ(t)I + l9(t)I) dt
1
~ IJ(x) - 9(x)I - 2CllJll + ll9IDllJ- 911
d'où le résultat
111/J(J) -1/;(9)11 ~ ( 1 - ~(llJll + 11911)) Il! - 911 ·
Supposons de plus f et 9 E 13, c'est-à-dire 11!11 < 1et11911 < 1. Dans ce cas, 1 - (ll!ll + 11911)/2 > 0, donc
111/J(J) -1/;(9)!1 = 0 entraîne Il! - 911 = 0, ce qui prouve que la restriction de 1/J à 13 est injective.
3) L'application 1/J = I + (1/2) 1/J'(f) = I + (1/2) de .C(E, E). L'application 1/J vérifie sur l'ouvert 13 toutes les hypothèses du corollaire 2.5 (forme glogale du
théorème d'inversion). La restriction de 1/J à 13 est donc un C 1 -difféomorphisme de 13sur1/;(13).
Solution Il.11.
1) Notons I l'application identique de .C(E, E). Pour tout X E .C(E, E), nous avons
1
1
(9 - z) (X)= 2(I - A) 0 X+ 2x 0 (I - A).
En utilisant les propriétés des normes dans .C(E, E), nous en déduisons Il (9 - z) (X)ll ::; III - Ali llXll. Il
en résulte, puisque A E 131.
119 - Ill ::; III - Ali < 1,