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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
classe ci. En appliquant la formule donnant la différentielle d'une fonction composée on obtient, pour tout A
et HE Mn(lR), F'(A)H =AH+ HA.
2) En particulier, pour tout HE .Mn(lR), F'(I) H = 2H, ce qui montre que F'(I) est un isomorphisme de
Mn(lR). Appliquons alors à F le théorème d'inversion locale 2.4, au voisinage de I: il existe un voisinage
ouvert U de I tel que V = F(U) soit un ouvert de Mn(lR) et que F soit un ci-difféomorphisme de U sur V.
Nous remarquons que F(I) = I. Désignons par G la bijection réciproque de F. Ainsi V est un voisinage ouvert
de I et, pour tout A E V, F(G(A)) = G(A) 2 =A. De plus, Gest de classe ci sur V.
3) Le calcul donne F' (J) H = 0, ce qui prouve que le noyau de l'endomorphisme F' (J) contient H, donc que
F' ( J) n'est pas inversible. Supposons qu'il existe une application différentiable G, définie dans un voisinage V de
I,tellequeG(J) = JetquepourtoutA E V,G(A) 2 = A.Onauraitalors,pourtoutA E V,F(G(A)) =A.
En calculant la différentielle en A de l'application composée F o G, on obtiendrait F' ( G(A)) o G' (A) = I,
en notant I l'application identitique de M2 (JR). En faisant A = I, on aurait F' (J) o G' (I) = I. L'application
linéaire F' ( J) serait surjective, donc bijective car l'espace considéré M2 (JR) est de dimension finie. Or ceci est
impossible. Il n'existe donc pas d'application différentiable G définie au voisinage de I telle que G(J) = Jet
G(A) 2 =A, pour A voisin de J.
Solution Il.9.
1) L'application N: y,_. N(y) = IY'(O)I + llY"ll est une norme sur E. En effet si y E E vérifie N(y) = 0,
alors IY' (0) 1 = 0 et y" = 0, donc y' est l'application nulle; puisque par hypothèse y(O) = 0, l'application y
est nulle aussi. Les autres propriétés se vérifient facilement en remarquant que la dérivation est une opération
linéaire.
Comparons maintenant llYll et N(y). Nous avons, pour tout t E [O, 1],
y(t) = ty'(O) + 1t (1
5 y"(u)du) ds,
d'où ly(t)I::::; N(y) et finalement, !IYll::::; N(y) (*).
Montrons que E muni de la norme N est un espace de Banach. Soit (Yn , n E N) une suite dans E, de Cauchy
pour la norme N. Les !'inégalités IY' (0)1 ::::; N(y) et llY" Il ::::; N(y) montrent que la suite (y~ (0)) est de Cauchy
dans lR et que la suite (lly~ll) est de Cauchy dans l'espace F muni de la norme de la convergence uniforme.
Comme IR et F sont cmplets, ces deux suites convergent; soient a E IR et g E F leurs limites respectives.
Posons, pour tout t E [O, 1],
Nous définissons ainsi une fonction numérique y, de classe C 2 sur [O, 1], telle que
y(O) = 0,
y'(O) =a,
y"= g.
De plus, N(yn - y) = IY~ (0) - al + llY~ - gll. donc limn-+oo N (Yn - Y) = O. D'après l'inégalité ( * ),
limn-+co llYn - Yll = 0, d'où en particulier limn-+oo Yn(l) = y(l) =O.
Nous avons ainsi montré que y E E et que la suite (yn) converge vers y dans E muni de la norme N, ce qui
prouve que cet espace est complet.
2) Soit f : E --> F l'application f(y) = -y"+ y 3 . L'application y ,_. -y" est linéaire continue, car
pour tout y E E, Il - y"ll ::::; N(y). L'application y ,_. y 3 est composée des applications différentiables
y ,_. (y, y, y) définie sur E, et ( x, y, z) ,_. x y z définie sur E 3 ; le calcul de sa différentielle en y se fait comme
dans l'exercice 7. Ces applications sont toutes de classe ci, donc f l'est aussi. On obtient, pour tout h E E,
!'(y) h = -h" + 3y 2 h.
3 a) L'application f'(O) a pour expression f'(O) h = -h", avec h E E. Supposons que f'(O) h =O. Alors
h" = 0, donc h' est constante eth est affine. Or h(O) = h( 1) = 0, donc h est nulle sur [O, 1]. Nous avons ainsi
prouvé que f'(O) est injective. Montrons maintenant que cette application linéaire est surjective. Soit h E F,
cherchons l E E telle que -h" = l. Il est facile de vérifier quel, définie, pour t E [O, 1 ], par
l(t) = -1t (1
5 h(u)du) ds-t->..t+µ,
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
classe ci. En appliquant la formule donnant la différentielle d'une fonction composée on obtient, pour tout A
et HE Mn(lR), F'(A)H =AH+ HA.
2) En particulier, pour tout HE .Mn(lR), F'(I) H = 2H, ce qui montre que F'(I) est un isomorphisme de
Mn(lR). Appliquons alors à F le théorème d'inversion locale 2.4, au voisinage de I: il existe un voisinage
ouvert U de I tel que V = F(U) soit un ouvert de Mn(lR) et que F soit un ci-difféomorphisme de U sur V.
Nous remarquons que F(I) = I. Désignons par G la bijection réciproque de F. Ainsi V est un voisinage ouvert
de I et, pour tout A E V, F(G(A)) = G(A) 2 =A. De plus, Gest de classe ci sur V.
3) Le calcul donne F' (J) H = 0, ce qui prouve que le noyau de l'endomorphisme F' (J) contient H, donc que
F' ( J) n'est pas inversible. Supposons qu'il existe une application différentiable G, définie dans un voisinage V de
I,tellequeG(J) = JetquepourtoutA E V,G(A) 2 = A.Onauraitalors,pourtoutA E V,F(G(A)) =A.
En calculant la différentielle en A de l'application composée F o G, on obtiendrait F' ( G(A)) o G' (A) = I,
en notant I l'application identitique de M2 (JR). En faisant A = I, on aurait F' (J) o G' (I) = I. L'application
linéaire F' ( J) serait surjective, donc bijective car l'espace considéré M2 (JR) est de dimension finie. Or ceci est
impossible. Il n'existe donc pas d'application différentiable G définie au voisinage de I telle que G(J) = Jet
G(A) 2 =A, pour A voisin de J.
Solution Il.9.
1) L'application N: y,_. N(y) = IY'(O)I + llY"ll est une norme sur E. En effet si y E E vérifie N(y) = 0,
alors IY' (0) 1 = 0 et y" = 0, donc y' est l'application nulle; puisque par hypothèse y(O) = 0, l'application y
est nulle aussi. Les autres propriétés se vérifient facilement en remarquant que la dérivation est une opération
linéaire.
Comparons maintenant llYll et N(y). Nous avons, pour tout t E [O, 1],
y(t) = ty'(O) + 1t (1
5 y"(u)du) ds,
d'où ly(t)I::::; N(y) et finalement, !IYll::::; N(y) (*).
Montrons que E muni de la norme N est un espace de Banach. Soit (Yn , n E N) une suite dans E, de Cauchy
pour la norme N. Les !'inégalités IY' (0)1 ::::; N(y) et llY" Il ::::; N(y) montrent que la suite (y~ (0)) est de Cauchy
dans lR et que la suite (lly~ll) est de Cauchy dans l'espace F muni de la norme de la convergence uniforme.
Comme IR et F sont cmplets, ces deux suites convergent; soient a E IR et g E F leurs limites respectives.
Posons, pour tout t E [O, 1],
Nous définissons ainsi une fonction numérique y, de classe C 2 sur [O, 1], telle que
y(O) = 0,
y'(O) =a,
y"= g.
De plus, N(yn - y) = IY~ (0) - al + llY~ - gll. donc limn-+oo N (Yn - Y) = O. D'après l'inégalité ( * ),
limn-+co llYn - Yll = 0, d'où en particulier limn-+oo Yn(l) = y(l) =O.
Nous avons ainsi montré que y E E et que la suite (yn) converge vers y dans E muni de la norme N, ce qui
prouve que cet espace est complet.
2) Soit f : E --> F l'application f(y) = -y"+ y 3 . L'application y ,_. -y" est linéaire continue, car
pour tout y E E, Il - y"ll ::::; N(y). L'application y ,_. y 3 est composée des applications différentiables
y ,_. (y, y, y) définie sur E, et ( x, y, z) ,_. x y z définie sur E 3 ; le calcul de sa différentielle en y se fait comme
dans l'exercice 7. Ces applications sont toutes de classe ci, donc f l'est aussi. On obtient, pour tout h E E,
!'(y) h = -h" + 3y 2 h.
3 a) L'application f'(O) a pour expression f'(O) h = -h", avec h E E. Supposons que f'(O) h =O. Alors
h" = 0, donc h' est constante eth est affine. Or h(O) = h( 1) = 0, donc h est nulle sur [O, 1]. Nous avons ainsi
prouvé que f'(O) est injective. Montrons maintenant que cette application linéaire est surjective. Soit h E F,
cherchons l E E telle que -h" = l. Il est facile de vérifier quel, définie, pour t E [O, 1 ], par
l(t) = -1t (1
5 h(u)du) ds-t->..t+µ,