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2 b) Pour tout ( .\ x) E U, on a
., x, 4>( >., x)) = O. On obtient, en calculant successivement la dérivée -+ (x, x, x), définie sur 13, et
partielle (au sens usuel) du premier membre par rapport à>., puis sa différentielle par rapport à x,
Mais en tout point(>., x, y) E IR. x Ex E,
On obtient donc :
/
'(
)-1 /
(
4>>. (>., x) = 'Py >., x, et>(>., x) of (>.et>(>., x) + x).c/> >., x),
'( ) '(
)-1 /
ce qui donne finalement :
4>~(>.,x) = 4>~(>.,x)ct>(>.,x).
Solution II. 7.
1) L'application f est la composée f = 1/; o
1/; : (x, y, z) >-+ x o y oz, définie sur (.C(E, E))
3 . L'application
(x, y, z) est 'lj;'(x, y, z) (h, k, l) = hoy oz +x okoz +x oyol, avec (h, k, l) E (.c(E, E) ) 3 . Ceci montre
que f est différentiable en tout point x E l3 et que sa différentielle vérifie, pour tout h E .C( E),
f 1 (X) h = 'lj; 1 (X 1 X 1 X) 0
De plus, f est de classe C 1 car les applications
2 a) Pour x = idE +y E l3 eth E .C(E, E),
llh o X o X - hll = llh o Y o Y+ 2h o Yll $ llhll(llYll 2 + 2llYll) ·
En faisant un calcul analogue pour chacun des termes de l'expression de Il!' (x) h - 3I hll, on trouve
11/'(x) h - 3I hll $ 3llhll(llx - idE 11 2 + 2llx - idE Il),
d'où llf'(x) - 3Ill $ 6llx - idE Il+ 3llx - idE 11 2 .
2 b) Puisque llx - idE Il < 1/3, on déduit du résultat précédent 11(1/3)!' (x) - Ill < 1. Ainsi (1/3)f' (x), et
par suite f' (x ), sont des éléments inversibles de .C(E, E).
3 a) L'application g : l3--+ .C(E, E), g(x) = f(x) - 3x, est de classe C 1 car somme d'applications de classe
C 1 ; pour tout x E 13, g 1 (x) = f' (x) - 3I. Appliquons à g le théorème des accroissements finis entre deux
points x et y de l3 en remarquant que
7
sup llg'(x)ll $ sup ( 6llx - idE Il+ 3llx - idE 11 2 ) $ - .
xEB
xEB
3
Nous obtenons llg(x) - g(y) Il $ (7 /3) llx - Yll ·
3 b) D'après la question précédente, pour tous x et y E 13,
2
11/(x) - /(y)ll = llg(x) - g(y) + 3(x -y)ll? 3llx - Yll - llg(x) - g(y)ll? 3llx - Yll,
ce qui prouve que l'application f est injective.
Les propriétés qui viennent d'être établies permettent d'appliquer à fla forme globale du théorème des fonctions
inverses (corollaire 2.5). On peut donc conclure que f est un C 1 -difféomorphisme de l3 sur f(l3).
Solution II.8.
1) L'application F : Mn(IR.) --+ Mn(IR.), F(A) = A 2 , est composée des applications, toutes deux de classe
C 1 , A >-+ (A, A) définie sur Mn(IR.), et (A, B) >-+ AB définie sur Mn(IR.) x Mn(IR.). Ainsi Fest de