54
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Appliquons à 7r le théorème des fonctions implicites au voisinage du point (A, A-i ), ce qui est possible car,
pour tout H E Mn(IR), 7r~ (A, A-i )(H) = AH, donc 7r~(A, A- 1 ) est bien un isomorphisme. Ce théorème
affirme l'existence d'un voisinage ouvert U de A dans !1 et d'une application cp, de classe ci, définie sur U, telle
que pour tout M E U, 7r ( M, cp( M)) = 7r( A, A - I) = I. On constate que dans ce cas .L'application est donc différentiable au point A et sa différentielle s'obtient en écrivant que la différentielle de
l'application nulle M ,_. 7r(M, (M))-I est nulle. On obtient 7r~ (A, (A)) +7r~ (A, (A)) o D(A) = 0
d'où, pour tout HE Mn(IR),
H A-i + AD(A)(H) = 0,
et finalement,
D(A)(H) = -A-i H A-i.
On remarque lapplication A ,_. D( A) est continue car composée d'applications continues. L'application est
donc de classe ci, injective et sa différentielle en tout point A de !1 est un isomorphisme. Ainsi (corollaire 2.5),
on peut affirmer que est un ci difféomorphisme de !1 sur son image.
Solution II.6.
1 a) Considérons, pour x E !Rn et,\ E IR fixés, l'équation y = A(,\y + x ), d'inconnue y E !Rn. On désigne
par I la matrice n x n unité. L'équation précédente s'écrit encore (I - >.A) y - A x = O. Or, (voir par
exemple [T.IX.4.3a]), pour 1,\1 < 1/llAll, la matrice I - >.A est inversible. Ainsi pour tout (,\,x) E U =
)-1/llAll, 1/llAll [ x !Rn, l'équation donnée a pour unique solution(,\, x) = (I - ,\A)- 1 A x.
1 b) Montrons que est de classe ci sur U. Cette application est la composée = 3 o 2 o i des applications
suivantes : 1' application 1 : (,\, x) ,_. (I - >.A, x ), définie sur U; l'application 2 : ( M, x) ,_. ( M- 1 , x ),
définie sur GLn(IR) x !Rn, où GLn(IR) désigne l'espace vecctoriel des matrices réelles inversibles d'ordre n;
l'application 3 : (M, X) 1-+ M.A.x, définie sur Mn(IR) X !Rn. Ces applications sont toutes de classe ci'
car chacune de leurs composantes est composée de fonctions usuelles de classe ci. Remarquons en effet que
les espaces normés considérés sont tous de dimension finie, donc toute application linéaire, affine ou bilinéaire
définie sur ces espaces est continue.
La première composante de i est une application affine de la variable ,\, sa deuxième composantes est linéaire.
Pour (a,h) E IR x !Rn,D1(,\,x)(a,h) = (-aA,h).
La différentielle de 2 au point (M, x) est l'application linéaire de Mn(IR) x !Rn dans lui-même, (P, h) ,_.
D2(M, x) (P, h) = (-M- 1 P M-i, h) (voir l'exercice 5 pour le calcul de la différentielle de l'application
M ,_. M-i).
L'application 3 est bilinéaire; sa différentielle en (M, x) est donc (P, h) ,_. D3(M, x) (P, h) =
PAx+M Ah.
On peut alors calculer la différentielle de par la formule de dérivation des fonctions composées, ce qui donne,
pour tout (a, h) E IR x !Rn,
D(,\, x)(a, h) = D3 ( (I - >.A)-i, x) o D2(! - ,\A, x) o Di (>., x) (a, h)
= a(I - ,\A)-i A (I - ,\A)-i Ax + (I - >.A)-i Ah.
Mais on sait que D(,\,x)(a,h) = a~(,\,x) + ~(,\,x)h, où ~(>.,x) désigne la dérivée partielle
de par rapport à la variable réelle À au sens usuel (voir 1.1.5), et ~(>., x) sa différentielle partielle par
rapport à x. Par identification des deux formules, on obtient ~ ( >., x) = (I - >.A)- i A (I - ,\A) - i A x et
~(,\,x)h = (I- ,\A)-i Ah.
Pourtoutcouple(,\,x) E U,onabien~(,\,x) = ~(>.,x)(>.,x).
2 a) L'application cp: IR x Ex E-+ E, (>., x, y),_. cp(>., x, y) =y - f(>.y + x), est de classe ci comme
composée d'applications de classe ci. Elle admet, en tout point(.>., x, y), une différentielle partielle par rapport à
la variable y ayant pour expression cp~(,\, x, y) = ide ->.f' (>.y+ x ). En particulier, on a
donc cp~(O, a, b) est un isomorphisme de E. Le théorème des fonctions implicites s'applique donc à cp au
voisinage du point (0, a, b), et permet d'affirmer l'existence d'un voisinage U de (0, a), d'un voisinage V de b
et d'une application : U -+ E de classe C 1 tels que, pour tout couple ( ,\, x) E U,
y EV et y= f(>.y + x) ~ y=(>., x).
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Appliquons à 7r le théorème des fonctions implicites au voisinage du point (A, A-i ), ce qui est possible car,
pour tout H E Mn(IR), 7r~ (A, A-i )(H) = AH, donc 7r~(A, A- 1 ) est bien un isomorphisme. Ce théorème
affirme l'existence d'un voisinage ouvert U de A dans !1 et d'une application cp, de classe ci, définie sur U, telle
que pour tout M E U, 7r ( M, cp( M)) = 7r( A, A - I) = I. On constate que dans ce cas .L'application est donc différentiable au point A et sa différentielle s'obtient en écrivant que la différentielle de
l'application nulle M ,_. 7r(M, (M))-I est nulle. On obtient 7r~ (A, (A)) +7r~ (A, (A)) o D(A) = 0
d'où, pour tout HE Mn(IR),
H A-i + AD(A)(H) = 0,
et finalement,
D(A)(H) = -A-i H A-i.
On remarque lapplication A ,_. D( A) est continue car composée d'applications continues. L'application est
donc de classe ci, injective et sa différentielle en tout point A de !1 est un isomorphisme. Ainsi (corollaire 2.5),
on peut affirmer que est un ci difféomorphisme de !1 sur son image.
Solution II.6.
1 a) Considérons, pour x E !Rn et,\ E IR fixés, l'équation y = A(,\y + x ), d'inconnue y E !Rn. On désigne
par I la matrice n x n unité. L'équation précédente s'écrit encore (I - >.A) y - A x = O. Or, (voir par
exemple [T.IX.4.3a]), pour 1,\1 < 1/llAll, la matrice I - >.A est inversible. Ainsi pour tout (,\,x) E U =
)-1/llAll, 1/llAll [ x !Rn, l'équation donnée a pour unique solution(,\, x) = (I - ,\A)- 1 A x.
1 b) Montrons que est de classe ci sur U. Cette application est la composée = 3 o 2 o i des applications
suivantes : 1' application 1 : (,\, x) ,_. (I - >.A, x ), définie sur U; l'application 2 : ( M, x) ,_. ( M- 1 , x ),
définie sur GLn(IR) x !Rn, où GLn(IR) désigne l'espace vecctoriel des matrices réelles inversibles d'ordre n;
l'application 3 : (M, X) 1-+ M.A.x, définie sur Mn(IR) X !Rn. Ces applications sont toutes de classe ci'
car chacune de leurs composantes est composée de fonctions usuelles de classe ci. Remarquons en effet que
les espaces normés considérés sont tous de dimension finie, donc toute application linéaire, affine ou bilinéaire
définie sur ces espaces est continue.
La première composante de i est une application affine de la variable ,\, sa deuxième composantes est linéaire.
Pour (a,h) E IR x !Rn,D1(,\,x)(a,h) = (-aA,h).
La différentielle de 2 au point (M, x) est l'application linéaire de Mn(IR) x !Rn dans lui-même, (P, h) ,_.
D2(M, x) (P, h) = (-M- 1 P M-i, h) (voir l'exercice 5 pour le calcul de la différentielle de l'application
M ,_. M-i).
L'application 3 est bilinéaire; sa différentielle en (M, x) est donc (P, h) ,_. D3(M, x) (P, h) =
PAx+M Ah.
On peut alors calculer la différentielle de par la formule de dérivation des fonctions composées, ce qui donne,
pour tout (a, h) E IR x !Rn,
D(,\, x)(a, h) = D3 ( (I - >.A)-i, x) o D2(! - ,\A, x) o Di (>., x) (a, h)
= a(I - ,\A)-i A (I - ,\A)-i Ax + (I - >.A)-i Ah.
Mais on sait que D(,\,x)(a,h) = a~(,\,x) + ~(,\,x)h, où ~(>.,x) désigne la dérivée partielle
de par rapport à la variable réelle À au sens usuel (voir 1.1.5), et ~(>., x) sa différentielle partielle par
rapport à x. Par identification des deux formules, on obtient ~ ( >., x) = (I - >.A)- i A (I - ,\A) - i A x et
~(,\,x)h = (I- ,\A)-i Ah.
Pourtoutcouple(,\,x) E U,onabien~(,\,x) = ~(>.,x)
2 a) L'application cp: IR x Ex E-+ E, (>., x, y),_. cp(>., x, y) =y - f(>.y + x), est de classe ci comme
composée d'applications de classe ci. Elle admet, en tout point(.>., x, y), une différentielle partielle par rapport à
la variable y ayant pour expression cp~(,\, x, y) = ide ->.f' (>.y+ x ). En particulier, on a
voisinage du point (0, a, b), et permet d'affirmer l'existence d'un voisinage U de (0, a), d'un voisinage V de b
et d'une application : U -+ E de classe C 1 tels que, pour tout couple ( ,\, x) E U,
y EV et y= f(>.y + x) ~ y=(>., x).