§ 5. Solutions
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2) Soit x E E. Pour h E ker f'(x), f'(x) h =O. Mais l'inégalité (f'(x) hlh) 2: a(hlh) montre alors que
h = O. Cela prouve que f' ( x) est un endomorphisme injectif de E. Comme nous avons supposé Ede dimension
finie, f' ( x) est un isomorphisme de cet espace.
Soit maintenant U une partie ouverte de E, b E f(U) et a E U tel que f(a) = b. Appliquons à f le théorème
d'inversion locale, au point a, ce qui est possible car f est de classe ci et f' (a) un isomorphisme de E. Il existe
donc un voisinage ouvert V de a, V C U, tel qu'en particulier f (V) soit un ouvert de E contenant b et contenu
dans f (U). Cela prouve que f (U) est ouvert, car le b est un point quelconque de f (U). Ainsi, l'application f
est ouverte.
3) On a montré dans les questions précédentes que f est une application ouverte et fermée. En particulier, f(E)
est une partie ouverte et fermée de E. Mais E, comme tout espace vectoriel normé, est connexe non vide, donc
f (E) = E. D'autre part, le résultat obtenu en 1 montre que f est injective; c'est donc une bijection de classe
ci de E sur E telle que, pour tout x E E, f'(x) soit un isomorphisme. L'application de la forme globale
du théorème des fonctions inverses (corollaire 2.5) montre alors que f est un ci-difféomorphisme de E sur
lui-même.
Solution II.4.
Soit cp : JR 3 x IR -+ JR 3 lapplication
cp : ( (x, y, z), t) >-+ (x 3 + y 3 + z 3 + t 2 , x 2 + y 2 + z 2 + t - 2, x +y+ z + t).
On vérifier que cp( (0, -1, 1), 0) = (0, 0, 0) donc que (0, -1, 1, 0) est solution du système. L'application cp est
de classe ci et la matrice jacobienne de sa différentielle partielle cp~ 1 (M, t) par rapport à sa première variable
M = (x,y,z) est
(
3x2 3y2 3z2 )
2x 2y 2z
.
1
1
1
En particulier cp~ ( (0, -1, 1 ), 0) est inversible car son déterminant est non nul. Appliquons alors le théorème des
fonctions implicites 3.1 à cp, au voisinage du point ( (0, -1, 1), 0) : il existe un intervalle ouvert Ide IR contenant
0, un voisinage ou vert U de (0, -1, 1) dans JR 3 , et une fonction de classe ci f : t >-+ f (t) = ( x(t), y(t), z(t)),
définie sur J, à valeurs dans JR 3 , tels que les conditions (i) et (ii) suivantes soient équivalentes :
(i) (M,t) EU x Jetcp(M,t) =0,
(ii) t E I et M = f(t).
Ceci signifie en particulier que le système donné admet une unique solution t >-+ f(t) au voisinage du point
(0, -1, 0, 0).
Écrivons qu'en tout point t, lapplication nulle t >-+ cp (! ( t), t) a une dérivée nulle. Nous obtenons ainsi la
relationcp~(f(tl},t) of'(t)+cp~(f(t),t) =0,soit ·
f'(t) = -(cp~(f(t), t>ri o cp~(f(t), t).
ce qui donne, en revenant aux matrices jacobiennes des différentielles concernées :
etenparticulier,f'(O) = (-1,1/4,-1/4).
Solution II.5.
1) L'application 7r est bilinéaire continue car définie sur un espace normé de dimension fine; elle est donc de
classe ci, et sa différentielle au point (M. N) est l'application linéaire D7r(M, N)(H, K) = H N + M K.
2) Soit A un élément inversible de Mn(IR). Soit HE Mn(IR) et M =A+ H. En désignant par I la matrice
unité, on peut écrire M = (I + H A-i)A. Pour llHll < llA-i11-i, la matrice I + H A-i est inversible
(voir par exemple [T.IX.4.3a]), donc M l'est aussi. Soit n la boule ouverte de Mn(IR), de centre A et de rayon
llA - i 11- i. Tout élément M den est donc inversible.
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2) Soit x E E. Pour h E ker f'(x), f'(x) h =O. Mais l'inégalité (f'(x) hlh) 2: a(hlh) montre alors que
h = O. Cela prouve que f' ( x) est un endomorphisme injectif de E. Comme nous avons supposé Ede dimension
finie, f' ( x) est un isomorphisme de cet espace.
Soit maintenant U une partie ouverte de E, b E f(U) et a E U tel que f(a) = b. Appliquons à f le théorème
d'inversion locale, au point a, ce qui est possible car f est de classe ci et f' (a) un isomorphisme de E. Il existe
donc un voisinage ouvert V de a, V C U, tel qu'en particulier f (V) soit un ouvert de E contenant b et contenu
dans f (U). Cela prouve que f (U) est ouvert, car le b est un point quelconque de f (U). Ainsi, l'application f
est ouverte.
3) On a montré dans les questions précédentes que f est une application ouverte et fermée. En particulier, f(E)
est une partie ouverte et fermée de E. Mais E, comme tout espace vectoriel normé, est connexe non vide, donc
f (E) = E. D'autre part, le résultat obtenu en 1 montre que f est injective; c'est donc une bijection de classe
ci de E sur E telle que, pour tout x E E, f'(x) soit un isomorphisme. L'application de la forme globale
du théorème des fonctions inverses (corollaire 2.5) montre alors que f est un ci-difféomorphisme de E sur
lui-même.
Solution II.4.
Soit cp : JR 3 x IR -+ JR 3 lapplication
cp : ( (x, y, z), t) >-+ (x 3 + y 3 + z 3 + t 2 , x 2 + y 2 + z 2 + t - 2, x +y+ z + t).
On vérifier que cp( (0, -1, 1), 0) = (0, 0, 0) donc que (0, -1, 1, 0) est solution du système. L'application cp est
de classe ci et la matrice jacobienne de sa différentielle partielle cp~ 1 (M, t) par rapport à sa première variable
M = (x,y,z) est
(
3x2 3y2 3z2 )
2x 2y 2z
.
1
1
1
En particulier cp~ ( (0, -1, 1 ), 0) est inversible car son déterminant est non nul. Appliquons alors le théorème des
fonctions implicites 3.1 à cp, au voisinage du point ( (0, -1, 1), 0) : il existe un intervalle ouvert Ide IR contenant
0, un voisinage ou vert U de (0, -1, 1) dans JR 3 , et une fonction de classe ci f : t >-+ f (t) = ( x(t), y(t), z(t)),
définie sur J, à valeurs dans JR 3 , tels que les conditions (i) et (ii) suivantes soient équivalentes :
(i) (M,t) EU x Jetcp(M,t) =0,
(ii) t E I et M = f(t).
Ceci signifie en particulier que le système donné admet une unique solution t >-+ f(t) au voisinage du point
(0, -1, 0, 0).
Écrivons qu'en tout point t, lapplication nulle t >-+ cp (! ( t), t) a une dérivée nulle. Nous obtenons ainsi la
relationcp~(f(tl},t) of'(t)+cp~(f(t),t) =0,soit ·
f'(t) = -(cp~(f(t), t>ri o cp~(f(t), t).
ce qui donne, en revenant aux matrices jacobiennes des différentielles concernées :
etenparticulier,f'(O) = (-1,1/4,-1/4).
Solution II.5.
1) L'application 7r est bilinéaire continue car définie sur un espace normé de dimension fine; elle est donc de
classe ci, et sa différentielle au point (M. N) est l'application linéaire D7r(M, N)(H, K) = H N + M K.
2) Soit A un élément inversible de Mn(IR). Soit HE Mn(IR) et M =A+ H. En désignant par I la matrice
unité, on peut écrire M = (I + H A-i)A. Pour llHll < llA-i11-i, la matrice I + H A-i est inversible
(voir par exemple [T.IX.4.3a]), donc M l'est aussi. Soit n la boule ouverte de Mn(IR), de centre A et de rayon
llA - i 11- i. Tout élément M den est donc inversible.