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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Cette application vérifieg = ef>of soit, pour tout (r,B) E)O, +oo[ xIR, g(r, 8) = ef>(rcosB,rsinB). De plus,
en appliquant les résultats de la question précédente, on voit que 4> est de classe C 1 .
Solution II.2.
1) On remarque que, pour A E Mn(IR) et.>. E IR, l'expression de F(.>., A) = dét(.>.I - A) est celle d'un
polynôme à n 2 + 1 variables (les n 2 coefficients de la matrice A et.>.). L'application Fest donc de classe C 00 •
2) Soit A E Mn(IR) fixé, et.>. une valeur propre réelle simple de A. L'application du théorème des fonctions
implicites (3.1 et 3.2) à la fonction F, au voisinage du point(.>., A), montre l'existence d'un voisinage ouvert
V de A et d'une fonction 4> : V _.... IR, de classe C 00 , telle que ef>( A) = .>. et que pour tout B E V,
F(ef>(B), B) = F(.>., A) = 0, ce qui exprime que ef>(B) est une valeur propre de B.
3) Soit A E U, .>.1 (A), .>.2(A), ... , Àn(A) les n valeurs propres deux à deux distinctes de A. On applique le
résultat de la question précédente à chacune de ces valeurs propres. Il existe donc, pour chaque i E { 1, 2, ... , n},
un voisinage ouvert Vide A et une fonction ef>i. de classe C 00 , définie sur V;. telle que ef>i(A) = Ài(A) et
que pour tout B E V;, 4>i(B) soit valeur propre de B. Les valeurs propres de A étant deux à deux distinctes,
elles possèdent des voisinages respectifs Wi disjoints. De plus, les applications ef>i étant continues en A, on peut
choisir les ouverts vi tels que ef>i(Vi) c Wi. L'ouvert V= n~=l vi est un voisinage de A, et pour tout BE V,
ef>i(B) est une valeur propre de B appartenant à Wi. Ainsi, B possède n valeurs propres deux à deux distinctes,
donc est élément de U.
On a montré que tout point A de U possède un voisinage ouvert V contenu dans U, ce qui prouve que U est un
ouvert de Mn(IR).
4) Pour tout A E U, indexons les valeurs propres Ài(A) de A suivant l'ordre croissant: .>.1 (A) < .>.2(A) <
... < Àn (A) . On peut supposer que les ouverts Wi définis à la question précédente sont des intervalles ouverts;
ilssontdeuxàdeuxdisjointset,pourtoutB E V,onaef>1(B) < 4>2(B) < ... < ef>n(B),puisqueef>i(B) E Wi.
Cela prouve que la restriction de chaque Ài au voisinage ouvert V de A est égale à ef>i. Les applications ef>i étant
de classe C 00 sur V, les applications Ài sont de classe C 00 sur U.
Solution II.3.
1) Soient a et b E E, et 4> la fonction de la variable t E IR, ef>(t) = (f(a + t(b- a)) 1 b - a). Elle est la
composée 4> = l o cp des applications cp: IR_.... E, cp(t) = f(a + t(b - a)). et l : E _....IR, l(x) = (xlb - a).
Ces deux applications sont différentiables en tout point: cp a pour dérivée cp 1 (t) = f'(a + t(b- a)) (b- a) et
l, étant linéaire continue, est différentiable de différentielle Dl(x) = l. Ainsi 4> est dérivable et sa dérivée, en
tout t E IR, est donnée par la formule de dérivation des fonctions composées,
4>' (t) = Dl (a+ t(b - a)) cp 1 (t) = (!'(a+ t(b - a))(b - a) 1 b - a) .
Mais, par hypothèse, pour tous h et x E E, nous avons (!' ( x) hlh) 2: a( hlh). Ainsi, pour tout t E IR, 4>' ( t) ~
a(b - alb - a). Appliquons aux fonctions t >--+ a(b - alb - a)t et t >--+ ef>, sur l'intervalle [O, 1), le théorème
des accroissements finis 1.5.1. Nous obtenons a(b - alb - a) :::; ( ef>(l) - ef>(O)), c'est-à-dire
(!(b)-f(a) 1b-a)2'.a(b-alb-a).
Soit maintenant U une partie fermée de E. Montrons que f (U) est aussi fermé. Soit (Yn, n E N) une suite
dans f (U) convergeant vers un élément y de E. On peut lui associer une suite (xn, n E N) dans Utelle que,
pour tout n E N, Yn = f (xn)· En appliquant le résultat précédent à deux termes quelconques Xn et Xp de
cette suite, on obtient odlxn - xpll 2 :::; (f(xn) - f(xp)lxn - Xp)· Mais, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
(f(xn) - f(xp)lxn - Xp) :::' . ' . llf(xn) - f(xp)llllxn - xpll. ce qui donne finalement
La suite (Yn). étant convergeante, est de Cauchy. L'inégalité ci-dessus montre que la suite (xn) est aussi de
Cauchy dans l'espace complet E; elle converge donc vers un élément x de E. Tous les termes de la suite
(xn) étant éléments du fermé U, la limite x de cette suite est élément de U. De plus, f est continue, donc
limn_,oo f(xn) = f(x) soit encore limn_,oo Yn = f(x) =y, donc y E f(U).
En définitive, pour toute partie fermée U de E. la partie f ( U) est fermée, ce qui prouve que f est une application
fermée.
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Cette application vérifieg = ef>of soit, pour tout (r,B) E)O, +oo[ xIR, g(r, 8) = ef>(rcosB,rsinB). De plus,
en appliquant les résultats de la question précédente, on voit que 4> est de classe C 1 .
Solution II.2.
1) On remarque que, pour A E Mn(IR) et.>. E IR, l'expression de F(.>., A) = dét(.>.I - A) est celle d'un
polynôme à n 2 + 1 variables (les n 2 coefficients de la matrice A et.>.). L'application Fest donc de classe C 00 •
2) Soit A E Mn(IR) fixé, et.>. une valeur propre réelle simple de A. L'application du théorème des fonctions
implicites (3.1 et 3.2) à la fonction F, au voisinage du point(.>., A), montre l'existence d'un voisinage ouvert
V de A et d'une fonction 4> : V _.... IR, de classe C 00 , telle que ef>( A) = .>. et que pour tout B E V,
F(ef>(B), B) = F(.>., A) = 0, ce qui exprime que ef>(B) est une valeur propre de B.
3) Soit A E U, .>.1 (A), .>.2(A), ... , Àn(A) les n valeurs propres deux à deux distinctes de A. On applique le
résultat de la question précédente à chacune de ces valeurs propres. Il existe donc, pour chaque i E { 1, 2, ... , n},
un voisinage ouvert Vide A et une fonction ef>i. de classe C 00 , définie sur V;. telle que ef>i(A) = Ài(A) et
que pour tout B E V;, 4>i(B) soit valeur propre de B. Les valeurs propres de A étant deux à deux distinctes,
elles possèdent des voisinages respectifs Wi disjoints. De plus, les applications ef>i étant continues en A, on peut
choisir les ouverts vi tels que ef>i(Vi) c Wi. L'ouvert V= n~=l vi est un voisinage de A, et pour tout BE V,
ef>i(B) est une valeur propre de B appartenant à Wi. Ainsi, B possède n valeurs propres deux à deux distinctes,
donc est élément de U.
On a montré que tout point A de U possède un voisinage ouvert V contenu dans U, ce qui prouve que U est un
ouvert de Mn(IR).
4) Pour tout A E U, indexons les valeurs propres Ài(A) de A suivant l'ordre croissant: .>.1 (A) < .>.2(A) <
... < Àn (A) . On peut supposer que les ouverts Wi définis à la question précédente sont des intervalles ouverts;
ilssontdeuxàdeuxdisjointset,pourtoutB E V,onaef>1(B) < 4>2(B) < ... < ef>n(B),puisqueef>i(B) E Wi.
Cela prouve que la restriction de chaque Ài au voisinage ouvert V de A est égale à ef>i. Les applications ef>i étant
de classe C 00 sur V, les applications Ài sont de classe C 00 sur U.
Solution II.3.
1) Soient a et b E E, et 4> la fonction de la variable t E IR, ef>(t) = (f(a + t(b- a)) 1 b - a). Elle est la
composée 4> = l o cp des applications cp: IR_.... E, cp(t) = f(a + t(b - a)). et l : E _....IR, l(x) = (xlb - a).
Ces deux applications sont différentiables en tout point: cp a pour dérivée cp 1 (t) = f'(a + t(b- a)) (b- a) et
l, étant linéaire continue, est différentiable de différentielle Dl(x) = l. Ainsi 4> est dérivable et sa dérivée, en
tout t E IR, est donnée par la formule de dérivation des fonctions composées,
4>' (t) = Dl (a+ t(b - a)) cp 1 (t) = (!'(a+ t(b - a))(b - a) 1 b - a) .
Mais, par hypothèse, pour tous h et x E E, nous avons (!' ( x) hlh) 2: a( hlh). Ainsi, pour tout t E IR, 4>' ( t) ~
a(b - alb - a). Appliquons aux fonctions t >--+ a(b - alb - a)t et t >--+ ef>, sur l'intervalle [O, 1), le théorème
des accroissements finis 1.5.1. Nous obtenons a(b - alb - a) :::; ( ef>(l) - ef>(O)), c'est-à-dire
(!(b)-f(a) 1b-a)2'.a(b-alb-a).
Soit maintenant U une partie fermée de E. Montrons que f (U) est aussi fermé. Soit (Yn, n E N) une suite
dans f (U) convergeant vers un élément y de E. On peut lui associer une suite (xn, n E N) dans Utelle que,
pour tout n E N, Yn = f (xn)· En appliquant le résultat précédent à deux termes quelconques Xn et Xp de
cette suite, on obtient odlxn - xpll 2 :::; (f(xn) - f(xp)lxn - Xp)· Mais, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
(f(xn) - f(xp)lxn - Xp) :::' . ' . llf(xn) - f(xp)llllxn - xpll. ce qui donne finalement
La suite (Yn). étant convergeante, est de Cauchy. L'inégalité ci-dessus montre que la suite (xn) est aussi de
Cauchy dans l'espace complet E; elle converge donc vers un élément x de E. Tous les termes de la suite
(xn) étant éléments du fermé U, la limite x de cette suite est élément de U. De plus, f est continue, donc
limn_,oo f(xn) = f(x) soit encore limn_,oo Yn = f(x) =y, donc y E f(U).
En définitive, pour toute partie fermée U de E. la partie f ( U) est fermée, ce qui prouve que f est une application
fermée.