§ 5. Solutions
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Exercice II.10.
L'espace E = C([O, 1]) des fonctions réelles continues sur [O, 1] est
muni de la norme de la convergence uniforme. On note B la boule ouverte de E de centre
0 et de rayon 1. Soit : E ---> E l'application
1) Montrer que ll
ll'l/JU) - 'l/J(g)ll 2: ( 1 - ~(llfll + llgll)) Il! - gll ·
En déduire que la restriction de 'l/; à Best injective.
3) Montrer que la restriction de 'l/; à Best un ci-difféomorphisme de B sur 'l/;(B).
Exercice II.11.
Soit E un espace de Banach. On note I l'application identique de E.
On désigne par Bo la boule ouverte de .C(E, E) de centre 0 et de rayon 1 et par Bi la boule
ouverte de cet espace de centre I et de rayon 1.
1) Soit A E Bi et g : .C(E, E) ---> .C(E, E) l'application
1
g(X) = '2(A o X+ X o A),
XE .C(E, E).
Montrer que g est un élément inversible de .C(.C(E, E), .C(E, E)).
2) Soit f: .C(E, E)---> .C(E, E) l'application f(M) = M 2 . Montrer que f est de classe
ci sur .C( E, E). Vérifier que pour tout A E Bi, l'application linéaire f' (A) est inversible.
3) Soit :L:i=o a.ntn le développement en série entière de la fonction de variable réelle
t 1--+ Vf+t. Pour tout XE Bo, on pose ainsi une application En déduire que
Solution II. l.
1) D'après le théorème d'inversion locale 2.4, tout point a de U possède un voisinage ouvert Va contenu dans
U tel que f (Va) soit un ouvert de F. Par suite, f (U) est réunion des ouverts f (Va). a E U, donc est un ouvert
deF.
2) Soit b E f(U) et a E U tel que f(a) = b. Toujours d'après le théorème d'inversion locale, f est un ci_
difféomorphisme de Va surf (Va). Désignons par J;; i sa bijection réciproque, et remarquons que J;; i est de
classe ci surf (Va). De l'égalité g = 4> of on déduit alors 4> = go J;; i. Comme la restriction de 4> à f(Va)
apparaît comme composée de deux applications de classe ci, elle est aussi de classe ci. Puisque tout point
b E f(U) possède un voisinage ouvert f(Va) sur lequel 4> est de classe ci, 4> est de classe ci sur f(U).
3) Soit f : U = ]O, +oo[ x!R--> IR l'application f(r, ()) = (r cos(), rsine). Cette application est de classe
.
(cos() -r sin() )
C 1 et, pour tout ( r, ()) E U, sa différentielle f' ( r, ()) a pour matrice jacobienne . ()
() . Cette
sin
r cos
matrice est inversible car r # 0 donc, pour tout ( r, ()) E U, f' ( r, ()) est un isomorphisme de IR:. 2 . On a
f(U) = IR 2 -{(0,0)}.Pourtout(x,y) E f(U),ilexiste(r,()) E Utelquex = rcos(), y= rsin().
De plus tout autre couple (r', ()')vérifiant ces relations est tel que r = r' et() - ()' = k 27f, où k E ·z, donc
g(r, ()) = g(r', ()').On peut alors poser f/>(x, y) = g(r, ()),ce qui définit une application 4> de f(U) vers IR.
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Exercice II.10.
L'espace E = C([O, 1]) des fonctions réelles continues sur [O, 1] est
muni de la norme de la convergence uniforme. On note B la boule ouverte de E de centre
0 et de rayon 1. Soit : E ---> E l'application
1) Montrer que ll
ll'l/JU) - 'l/J(g)ll 2: ( 1 - ~(llfll + llgll)) Il! - gll ·
En déduire que la restriction de 'l/; à Best injective.
3) Montrer que la restriction de 'l/; à Best un ci-difféomorphisme de B sur 'l/;(B).
Exercice II.11.
Soit E un espace de Banach. On note I l'application identique de E.
On désigne par Bo la boule ouverte de .C(E, E) de centre 0 et de rayon 1 et par Bi la boule
ouverte de cet espace de centre I et de rayon 1.
1) Soit A E Bi et g : .C(E, E) ---> .C(E, E) l'application
1
g(X) = '2(A o X+ X o A),
XE .C(E, E).
Montrer que g est un élément inversible de .C(.C(E, E), .C(E, E)).
2) Soit f: .C(E, E)---> .C(E, E) l'application f(M) = M 2 . Montrer que f est de classe
ci sur .C( E, E). Vérifier que pour tout A E Bi, l'application linéaire f' (A) est inversible.
3) Soit :L:i=o a.ntn le développement en série entière de la fonction de variable réelle
t 1--+ Vf+t. Pour tout XE Bo, on pose ainsi une application En déduire que
Solution II. l.
1) D'après le théorème d'inversion locale 2.4, tout point a de U possède un voisinage ouvert Va contenu dans
U tel que f (Va) soit un ouvert de F. Par suite, f (U) est réunion des ouverts f (Va). a E U, donc est un ouvert
deF.
2) Soit b E f(U) et a E U tel que f(a) = b. Toujours d'après le théorème d'inversion locale, f est un ci_
difféomorphisme de Va surf (Va). Désignons par J;; i sa bijection réciproque, et remarquons que J;; i est de
classe ci surf (Va). De l'égalité g = 4> of on déduit alors 4> = go J;; i. Comme la restriction de 4> à f(Va)
apparaît comme composée de deux applications de classe ci, elle est aussi de classe ci. Puisque tout point
b E f(U) possède un voisinage ouvert f(Va) sur lequel 4> est de classe ci, 4> est de classe ci sur f(U).
3) Soit f : U = ]O, +oo[ x!R--> IR l'application f(r, ()) = (r cos(), rsine). Cette application est de classe
.
(cos() -r sin() )
C 1 et, pour tout ( r, ()) E U, sa différentielle f' ( r, ()) a pour matrice jacobienne . ()
() . Cette
sin
r cos
matrice est inversible car r # 0 donc, pour tout ( r, ()) E U, f' ( r, ()) est un isomorphisme de IR:. 2 . On a
f(U) = IR 2 -{(0,0)}.Pourtout(x,y) E f(U),ilexiste(r,()) E Utelquex = rcos(), y= rsin().
De plus tout autre couple (r', ()')vérifiant ces relations est tel que r = r' et() - ()' = k 27f, où k E ·z, donc
g(r, ()) = g(r', ()').On peut alors poser f/>(x, y) = g(r, ()),ce qui définit une application 4> de f(U) vers IR.