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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
2 b) Montrer que, pour tout (À, x) E U, vérifie la relation
c/>~(>.,x) = 4>~(.X,x)ef>(>.,x).
Exercice Il. 7. Soit E un espace de Banach. On note idE l'application identique de E, B
la boule ouverte B(idE, 1/3) de .C(E, E) de centre idE et de rayon 1/3, et f l'application
de B dans C(E, E), f(x) = x 3 .
1) On rappelle que C(E, E) est une algèbre non commutative. Montrer que f est
différentiable et calculer f' ( x) h pour x E B et h E .C( E, E).
Montrer que f est de classe ci.
2) On note I l'application identique de C(E, E).
2 a) Montrer que, pour tout x E B, llf'(x) - 3Ijl ::=:; 6llx - idE 11+3llx - idE 1 1 2 . [Il sera
habile de poser x = idE +y].
2 b) En déduire que lapplication linéaire f' ( x) est bijective.
3) On pose g(x) = f(x) - 3x.
3 a) Vérifier que l'application g est différentiable et montrer que, pour tous x et y E B,
7
llg(x) - g(y)ll ::S 3llx - Yll ·
3 b) Montrer que l'application f est injective. En déduire que f est un C 1 -difféomorphisme
de B surf (B).
Exercice Il.8.
Soit F: Mn(IR) ___. Mn(IR) l'application F(A) = A 2 , où Mn(IR) est
l'espace des matrices réelles n x n.
1) Montrer que F est de classe ci et calculer sa différentielle.
2) On se place au point I (matrice n x n unité). Montrer qu'il existe une fonction
différentiable G, définie dans un voisinage V de I dans Mn(IR), à valeurs dans Mn(IR),
telle que, pour tout A E V, on ait G(A) 2 =A.
3) Dans cette question n = 2. On donne les matrices :
J = ( ~1 ~) ' H = (~
Calculer F'(J) H. En déduire qu'il n'existe pas de fonction différentiable G, définie au
voisinage de I, telle que G(I) = Jet que G(A) 2 =A, pour A voisin de I.
Exercice II.9.
Soit E l'espace vectoriel des fonctions y : [O, 1] ___. lR de classe C 2
telles que y(O) = y(l) =O. On désigne par 0 l'élément nul de E. On pose
llYll = sup ly(x)I,
N(y) = jy'(O)j + llY"li
xE[O,i]
1) Montrer que N est une norme sur E et que, pour tout y E E, jjyjj ::=:; N(y). Montrer
que E, muni de la norme N, est un espace de Banach.
2) Soit F l'espace vectoriel des fonctions continues h : [ü, 1] ___. lR muni de la norme de
la convergence uniforme On munit l'espace Ede la norme N. Montrer que l'application
f: E ___. F, y r--+ f(y) = -y"+ y 3 , est de classe ci sur E. Déterminer sa différentielle
f'(y).
3 a) Montrer que f' ( 0) est inversible.
3 b) Montrer qu'il existe é > 0 tel que, pour tout élément g de F vérifiant 11911 < é, il
existe XE Etel que -X"+ X 3 = g.
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
2 b) Montrer que, pour tout (À, x) E U, vérifie la relation
c/>~(>.,x) = 4>~(.X,x)ef>(>.,x).
Exercice Il. 7. Soit E un espace de Banach. On note idE l'application identique de E, B
la boule ouverte B(idE, 1/3) de .C(E, E) de centre idE et de rayon 1/3, et f l'application
de B dans C(E, E), f(x) = x 3 .
1) On rappelle que C(E, E) est une algèbre non commutative. Montrer que f est
différentiable et calculer f' ( x) h pour x E B et h E .C( E, E).
Montrer que f est de classe ci.
2) On note I l'application identique de C(E, E).
2 a) Montrer que, pour tout x E B, llf'(x) - 3Ijl ::=:; 6llx - idE 11+3llx - idE 1 1 2 . [Il sera
habile de poser x = idE +y].
2 b) En déduire que lapplication linéaire f' ( x) est bijective.
3) On pose g(x) = f(x) - 3x.
3 a) Vérifier que l'application g est différentiable et montrer que, pour tous x et y E B,
7
llg(x) - g(y)ll ::S 3llx - Yll ·
3 b) Montrer que l'application f est injective. En déduire que f est un C 1 -difféomorphisme
de B surf (B).
Exercice Il.8.
Soit F: Mn(IR) ___. Mn(IR) l'application F(A) = A 2 , où Mn(IR) est
l'espace des matrices réelles n x n.
1) Montrer que F est de classe ci et calculer sa différentielle.
2) On se place au point I (matrice n x n unité). Montrer qu'il existe une fonction
différentiable G, définie dans un voisinage V de I dans Mn(IR), à valeurs dans Mn(IR),
telle que, pour tout A E V, on ait G(A) 2 =A.
3) Dans cette question n = 2. On donne les matrices :
J = ( ~1 ~) ' H = (~
Calculer F'(J) H. En déduire qu'il n'existe pas de fonction différentiable G, définie au
voisinage de I, telle que G(I) = Jet que G(A) 2 =A, pour A voisin de I.
Exercice II.9.
Soit E l'espace vectoriel des fonctions y : [O, 1] ___. lR de classe C 2
telles que y(O) = y(l) =O. On désigne par 0 l'élément nul de E. On pose
llYll = sup ly(x)I,
N(y) = jy'(O)j + llY"li
xE[O,i]
1) Montrer que N est une norme sur E et que, pour tout y E E, jjyjj ::=:; N(y). Montrer
que E, muni de la norme N, est un espace de Banach.
2) Soit F l'espace vectoriel des fonctions continues h : [ü, 1] ___. lR muni de la norme de
la convergence uniforme On munit l'espace Ede la norme N. Montrer que l'application
f: E ___. F, y r--+ f(y) = -y"+ y 3 , est de classe ci sur E. Déterminer sa différentielle
f'(y).
3 a) Montrer que f' ( 0) est inversible.
3 b) Montrer qu'il existe é > 0 tel que, pour tout élément g de F vérifiant 11911 < é, il
existe XE Etel que -X"+ X 3 = g.