§ 4. Exercices
49
3) Soit U le sous-ensemble de Mn(IR) formé des matrices ayant n valeurs propres réelles
deux à deux distinctes. Montrer que U est un ouvert de Mn(IR).
4) Soit A E U, Ài(A), Àz(A), .. . , Àn(A) les n valeurs propres de A rangées par ordre
croissant: Ài (A) < Àz(A) < · · · < Àn (A). On définit ainsi n applications Ài de U dans
R Montrer que ces applications sont de classe C 00 sur U.
Exercice II.3. Soit E un .IR-espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que
la norme sur E est associée à un produit scalaire : ( x, y) t-t ( x IY). Soit f : E --+ E une
application de classe ci. On suppose qu'il existe un réel a > 0 tel que, pour tous h et
XE E, (J'(x) hlh) ;::=: a(hlh).
1) Montrer que, pour tous a et b E E, (J(b) - J(a)lb- a) ;::=: a(b- alb- a). [On pourra
introduire la fonction définie, pour t E .IR, par (t) = (J(a + t(b - a)) 1 b - a)]. En
déduire que f est une application fermée.
2) Montrer que, pour tout x E E, f'(x) est un isomorphisme de E. En déduire que f est
une application ouverte.
3) Montrer que J est un difféomorphisme de classe ci de E sur lui-même.
Exercice II.4.
on· considère le système d'équations, d'inconnues (x, y, z, t) E .IR 4 :
{
x3 + y3 + z3 + t2 = 0 '
x2 + y2 + z2 + t = 2 ,
X
+ y + Z + t = 0.
Vérifier que le point (0, -1, 1, 0) est solution. Montrer que l'on peut résoudre ce système
par rapport à (x, y, z) au voisinage de ce point. Calculer la dérivée en 0 de l'application
t t-t (x(t), y(t), z(t)) ainsi définie.
Exercice II.5.
Soit Mn(IR) l'espace des matrices réelles n x n, et 7r : Mn(.IR) x
Mn(IR)--+ Mn(.IR) l'application 7r(M, N) =MN.
1) Montrer que 7r est de classe ci et calculer sa différentielle.
2) Soit A un élément inversible de Mn(.IR). Montrer qu'il existe un voisinage ouvert n de
A dans Mn(.IR) ayant les propriétés suivantes:
- tout élément M de n est inversible,
- l'application: M--+ M-i est un ci-difféomorphisme den sur son image.
Donner l'expression de la différentielle de 7r au point A.
Exercice II.6.
1) Soit Mn(IR) l'espace des matrices réelles n x n, A un élément de cet espace et
f: .!Rn--+ IRn l'application J(x) = Ax.
1 a) Montrer que, pour x E IRn et À E .IR tel que JÀI < 1/llAll fixés, l'équation
y = A(Ày + x), d'inconnue y E IRn, admet une et une seule solution. On désigne par
(À, x) cette solution. On définit ainsi une application de U =] - 1/llAIJ, 1/llAll [ x.IRn
dans IRn. Déterminer l'expression de.
1 b) Montrer que est de classe ci sur U. Calculer ses dérivées partielles et vérifier que,
pour tout couple (À, x) E U, ~(À, x) = ~(À, x) (À, x ).
2) Soit E un espace de Banach et f : E --+ E une application de classe ci. Soit a E E.
On pose b = J(a).
2 a) Montrer qu'il existe un voisinage ouvert U de (0, a) dans .IR x E, un voisinage ouvert
V de b dans E et une application : U --+ E de classe ci tels que, pour tout couple
(À,x) EU,
y EV et y= f(Ày + x) <====? y= (À, x).
49
3) Soit U le sous-ensemble de Mn(IR) formé des matrices ayant n valeurs propres réelles
deux à deux distinctes. Montrer que U est un ouvert de Mn(IR).
4) Soit A E U, Ài(A), Àz(A), .. . , Àn(A) les n valeurs propres de A rangées par ordre
croissant: Ài (A) < Àz(A) < · · · < Àn (A). On définit ainsi n applications Ài de U dans
R Montrer que ces applications sont de classe C 00 sur U.
Exercice II.3. Soit E un .IR-espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que
la norme sur E est associée à un produit scalaire : ( x, y) t-t ( x IY). Soit f : E --+ E une
application de classe ci. On suppose qu'il existe un réel a > 0 tel que, pour tous h et
XE E, (J'(x) hlh) ;::=: a(hlh).
1) Montrer que, pour tous a et b E E, (J(b) - J(a)lb- a) ;::=: a(b- alb- a). [On pourra
introduire la fonction définie, pour t E .IR, par (t) = (J(a + t(b - a)) 1 b - a)]. En
déduire que f est une application fermée.
2) Montrer que, pour tout x E E, f'(x) est un isomorphisme de E. En déduire que f est
une application ouverte.
3) Montrer que J est un difféomorphisme de classe ci de E sur lui-même.
Exercice II.4.
on· considère le système d'équations, d'inconnues (x, y, z, t) E .IR 4 :
{
x3 + y3 + z3 + t2 = 0 '
x2 + y2 + z2 + t = 2 ,
X
+ y + Z + t = 0.
Vérifier que le point (0, -1, 1, 0) est solution. Montrer que l'on peut résoudre ce système
par rapport à (x, y, z) au voisinage de ce point. Calculer la dérivée en 0 de l'application
t t-t (x(t), y(t), z(t)) ainsi définie.
Exercice II.5.
Soit Mn(IR) l'espace des matrices réelles n x n, et 7r : Mn(.IR) x
Mn(IR)--+ Mn(.IR) l'application 7r(M, N) =MN.
1) Montrer que 7r est de classe ci et calculer sa différentielle.
2) Soit A un élément inversible de Mn(.IR). Montrer qu'il existe un voisinage ouvert n de
A dans Mn(.IR) ayant les propriétés suivantes:
- tout élément M de n est inversible,
- l'application: M--+ M-i est un ci-difféomorphisme den sur son image.
Donner l'expression de la différentielle de 7r au point A.
Exercice II.6.
1) Soit Mn(IR) l'espace des matrices réelles n x n, A un élément de cet espace et
f: .!Rn--+ IRn l'application J(x) = Ax.
1 a) Montrer que, pour x E IRn et À E .IR tel que JÀI < 1/llAll fixés, l'équation
y = A(Ày + x), d'inconnue y E IRn, admet une et une seule solution. On désigne par
(À, x) cette solution. On définit ainsi une application de U =] - 1/llAIJ, 1/llAll [ x.IRn
dans IRn. Déterminer l'expression de.
1 b) Montrer que est de classe ci sur U. Calculer ses dérivées partielles et vérifier que,
pour tout couple (À, x) E U, ~(À, x) = ~(À, x) (À, x ).
2) Soit E un espace de Banach et f : E --+ E une application de classe ci. Soit a E E.
On pose b = J(a).
2 a) Montrer qu'il existe un voisinage ouvert U de (0, a) dans .IR x E, un voisinage ouvert
V de b dans E et une application : U --+ E de classe ci tels que, pour tout couple
(À,x) EU,
y EV et y= f(Ày + x) <====? y= (À, x).