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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
(ii) le point (x, y) est élément de Wetz= h(x, y).
Il est facile de donner des expressions explicites de V, W eth. Nous pouvons prendre, par
exemple,
V= { (x,y,z) E IR 3 ; zoz > 0}, W = { (x,y) E IR 2 ; x 2 +y 2 < x5+Y5+z5},
et pour application h,
{ V xô + Y5 + z5 - x 2 - Y 2
h(x,y) =
~------J x5 + Y5 + z5 - x2 - y2
si z0 > 0,
si zo
dans l'assertion (i), d'imposer à (x, y, z) d'être élément de V, c'est-à-dire si nous n'avions
pas imposé à z d'être de même signe que z0 , les assertions (i) et (ii) ne seraient plus
équivalentes. En effet, pour tout (x, y) E W, posons
Nous avons alors
x 2 + y 2 + zî = x5 + Yâ + zâ , et aussi x 2 + y 2 + z~ = x5 + Yâ + zâ .
4. Exercices
Avertissement. Parmi les exercices ci-dessous, certains utilisent les notions d'application
de classe CP ou de classe C 00 présentées dans le chapitre III. Nous les avons cependant
placés dans le présent chapitre, car ils illustrent principalement l'emploi des théorèmes
des fonctions inverses et des fonctions implicites. Le lecteur pourra se reporter au chapitre
III, et notamment au paragraphe 111.3.5, pour les quelques résultats nécessaires pour leur
résolution.
Exercice II. l. Soient E, F et G trois espaces de Banach, U un ouvert de E, f : U ---+ F
et g : U ---+ G deux applications de classe ci.
1) On suppose que pour tout x E U, f' ( x) est un isomorphisme de E vers F. Montrer que
f (U) est un ouvert de F.
2) On suppose de plus qu'il existe une application : f(U) ---+ G telle que g = of.
Montrer que est de classe ci.
3) Application : Soit g : JO, +oo[ xIR ---+ IR une application de classe ci vérifiant, pour
tout r E ]O, +oo[ et tout 8 E IR, g(r, 8 + 27r) = g(r, 8). Montrer qu'il existe une
unique application : IR 2 - { (0, O)} ---+ IR vérifiant, pour tout r E JO, +oo[ et tout
8 E IR , g(r, 8) = (r cos 8, r sin 8). Montrer que est de classe ci.
Exercice II. 2.
Soit Mn (IR) lespace des matrices réelles n x n, A un élément de cet
espace, I la matrice n x n unité, et À E R On pose F(À, A) = dét(.XI - A), polynôme
caractéristique de A. On définit ainsi une application F de IR x Mn (IR) dans R
1) Expliquer pourquoi F est de classe C 00 .
2) On rappelle que les valeurs propres réelles de A sont les réels À tels que F(.X, A) = O.
Une valeur propre réelle À de A est simple si et seulement si oF~; A) -::/=O.
Soit À une valeur propre réelle simple de A. Montrer qu'il existe un voisinage ouvert V de
A et une fonction : V _ _, IR de classe C 00 telle que (A) = À et que pour toute matrice
B E V, (B) soit une valeur propre rélle de B.
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
(ii) le point (x, y) est élément de Wetz= h(x, y).
Il est facile de donner des expressions explicites de V, W eth. Nous pouvons prendre, par
exemple,
V= { (x,y,z) E IR 3 ; zoz > 0}, W = { (x,y) E IR 2 ; x 2 +y 2 < x5+Y5+z5},
et pour application h,
{ V xô + Y5 + z5 - x 2 - Y 2
h(x,y) =
~------J x5 + Y5 + z5 - x2 - y2
si z0 > 0,
si zo
dans l'assertion (i), d'imposer à (x, y, z) d'être élément de V, c'est-à-dire si nous n'avions
pas imposé à z d'être de même signe que z0 , les assertions (i) et (ii) ne seraient plus
équivalentes. En effet, pour tout (x, y) E W, posons
Nous avons alors
x 2 + y 2 + zî = x5 + Yâ + zâ , et aussi x 2 + y 2 + z~ = x5 + Yâ + zâ .
4. Exercices
Avertissement. Parmi les exercices ci-dessous, certains utilisent les notions d'application
de classe CP ou de classe C 00 présentées dans le chapitre III. Nous les avons cependant
placés dans le présent chapitre, car ils illustrent principalement l'emploi des théorèmes
des fonctions inverses et des fonctions implicites. Le lecteur pourra se reporter au chapitre
III, et notamment au paragraphe 111.3.5, pour les quelques résultats nécessaires pour leur
résolution.
Exercice II. l. Soient E, F et G trois espaces de Banach, U un ouvert de E, f : U ---+ F
et g : U ---+ G deux applications de classe ci.
1) On suppose que pour tout x E U, f' ( x) est un isomorphisme de E vers F. Montrer que
f (U) est un ouvert de F.
2) On suppose de plus qu'il existe une application : f(U) ---+ G telle que g = of.
Montrer que est de classe ci.
3) Application : Soit g : JO, +oo[ xIR ---+ IR une application de classe ci vérifiant, pour
tout r E ]O, +oo[ et tout 8 E IR, g(r, 8 + 27r) = g(r, 8). Montrer qu'il existe une
unique application : IR 2 - { (0, O)} ---+ IR vérifiant, pour tout r E JO, +oo[ et tout
8 E IR , g(r, 8) = (r cos 8, r sin 8). Montrer que est de classe ci.
Exercice II. 2.
Soit Mn (IR) lespace des matrices réelles n x n, A un élément de cet
espace, I la matrice n x n unité, et À E R On pose F(À, A) = dét(.XI - A), polynôme
caractéristique de A. On définit ainsi une application F de IR x Mn (IR) dans R
1) Expliquer pourquoi F est de classe C 00 .
2) On rappelle que les valeurs propres réelles de A sont les réels À tels que F(.X, A) = O.
Une valeur propre réelle À de A est simple si et seulement si oF~; A) -::/=O.
Soit À une valeur propre réelle simple de A. Montrer qu'il existe un voisinage ouvert V de
A et une fonction : V _ _, IR de classe C 00 telle que (A) = À et que pour toute matrice
B E V, (B) soit une valeur propre rélle de B.