§ 3. Le théorème des fonctions implicites
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b) Justification de la terminologie. - Le nom donné au théorème 3.1 est justifié par les
considérations suivantes. Posons, comme ci-dessus, f (a, b) = c. Nous pouvons considérer
l'expression
f(x,y) = c
comme une équation, dans laquelle c E Gest fixé, y E F étant l'inconnue qu'on cherche
à déterminer, x E E étant un paramètre, auquel on pourra donner diverses valeurs.
Par hypothèse, lorsqu'on donne au paramètre x la valeur a, 1 'équation ( *) possède une
solution y = b. Le théorème 3.1 indique que sous les hypothèses précisées dans l'énoncé,
l'équation ( *) possède, pour toute valeur du paramètre x prise dans un certain voisinage
ouvert W de a, une solution y = h(x ), fonction de classe C 1 du paramètre x, et que cette
solution est unique, si toutefois on impose à ( x, y) d'appartenir à un certain voisinage V
de (a,&). On dit que (*)est une équation implicite, et que l'application h : W --t Fest
implicitement déterminée par cette équation.
c) Cas d'une application de ~n+p dans ~P. - Dans le cas où E = ~n. F = G = ~P,
l'application fa p composantes
fi: (x1, ... ,Xn,Y1, ... ,yp) t-t fi(x1, ... ,Xn,Y1, ... ,yp),
1:::; i :::;p,
à valeurs réèlles, fonctions de classe C 1 des n + p variables réelles X1, ... 'Xn' YI' ... 'Yp.
La différentielle partielle f~(a, b) est l'application linéaire de ~P dans lui-même ayant
pour matrice
ââfi(a,b)
YI
â âfz (a, b)
YI
â âfi (a, b)
Y2
ââfz (a, b)
Y2
~fi(a,b)
Yp
â âfz (a, b)
Yp
Posons, pour chaque i, 1 :::; i:::; p, ci = fi(a, b). Le théorème 3.1 exprime alors le résultat
suivant. Si le déterminant de la matrice ( **) ci-dessus est non nul, le système d'équations
possède, pour chaque valeur du paramètre x = ( x 1 , ... , Xn) appartenant au voisinage
ouvert W de a dans ~n. une solution y= h(x) vérifiant (x, y) E V unique, s'exprimant
comme une fonction h = (h1 , ... , hp), de classe C 1 , à valeurs dans ~P, du paramètre
x = (xi, ... , Xn) E W. Nous avons donc
fi (x1, ... , Xn 1 h1 (x1, ... , Xn), ... , hp(X1, ... , Xn)) = Ci,
d) Un exemple simple. - Soit f = ~ 3 --t ~ l'application
f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
Soit (xo, Yo, zo) un point de ~ 3 . Nous avons
f~(xo, Yo, zo) = 2zo.
Appliquons le théorème des fonctions implicites en identifiant~ 3 à~ 2 x~. (x, y) désignant
un point du premier facteur ~ 2 , et z un point du second facteur R Nous voyons que si
z0 =f. 0, il existe un voisinage ouvert V de (x0 , y0 , z0 ) dans ~ 3 , un voisinage ouvert W
de (x 0 , y0 ) dans ~ 2 et une application différentiable h de W dans ~ tels que les deux
assertions suivantes soient équivalentes :
(i) le point (x, y, z) est élément de V et x 2 + y 2 + z 2 = x6 + Y5 + z5,
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b) Justification de la terminologie. - Le nom donné au théorème 3.1 est justifié par les
considérations suivantes. Posons, comme ci-dessus, f (a, b) = c. Nous pouvons considérer
l'expression
f(x,y) = c
comme une équation, dans laquelle c E Gest fixé, y E F étant l'inconnue qu'on cherche
à déterminer, x E E étant un paramètre, auquel on pourra donner diverses valeurs.
Par hypothèse, lorsqu'on donne au paramètre x la valeur a, 1 'équation ( *) possède une
solution y = b. Le théorème 3.1 indique que sous les hypothèses précisées dans l'énoncé,
l'équation ( *) possède, pour toute valeur du paramètre x prise dans un certain voisinage
ouvert W de a, une solution y = h(x ), fonction de classe C 1 du paramètre x, et que cette
solution est unique, si toutefois on impose à ( x, y) d'appartenir à un certain voisinage V
de (a,&). On dit que (*)est une équation implicite, et que l'application h : W --t Fest
implicitement déterminée par cette équation.
c) Cas d'une application de ~n+p dans ~P. - Dans le cas où E = ~n. F = G = ~P,
l'application fa p composantes
fi: (x1, ... ,Xn,Y1, ... ,yp) t-t fi(x1, ... ,Xn,Y1, ... ,yp),
1:::; i :::;p,
à valeurs réèlles, fonctions de classe C 1 des n + p variables réelles X1, ... 'Xn' YI' ... 'Yp.
La différentielle partielle f~(a, b) est l'application linéaire de ~P dans lui-même ayant
pour matrice
ââfi(a,b)
YI
â âfz (a, b)
YI
â âfi (a, b)
Y2
ââfz (a, b)
Y2
~fi(a,b)
Yp
â âfz (a, b)
Yp
Posons, pour chaque i, 1 :::; i:::; p, ci = fi(a, b). Le théorème 3.1 exprime alors le résultat
suivant. Si le déterminant de la matrice ( **) ci-dessus est non nul, le système d'équations
possède, pour chaque valeur du paramètre x = ( x 1 , ... , Xn) appartenant au voisinage
ouvert W de a dans ~n. une solution y= h(x) vérifiant (x, y) E V unique, s'exprimant
comme une fonction h = (h1 , ... , hp), de classe C 1 , à valeurs dans ~P, du paramètre
x = (xi, ... , Xn) E W. Nous avons donc
fi (x1, ... , Xn 1 h1 (x1, ... , Xn), ... , hp(X1, ... , Xn)) = Ci,
d) Un exemple simple. - Soit f = ~ 3 --t ~ l'application
f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .
Soit (xo, Yo, zo) un point de ~ 3 . Nous avons
f~(xo, Yo, zo) = 2zo.
Appliquons le théorème des fonctions implicites en identifiant~ 3 à~ 2 x~. (x, y) désignant
un point du premier facteur ~ 2 , et z un point du second facteur R Nous voyons que si
z0 =f. 0, il existe un voisinage ouvert V de (x0 , y0 , z0 ) dans ~ 3 , un voisinage ouvert W
de (x 0 , y0 ) dans ~ 2 et une application différentiable h de W dans ~ tels que les deux
assertions suivantes soient équivalentes :
(i) le point (x, y, z) est élément de V et x 2 + y 2 + z 2 = x6 + Y5 + z5,