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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
D'après le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert V de (a, b) dans Ex F,
V c U, tel que Wi = fi (V) soit un ouvert de E x G et que fi soit un difféomorphisme
de classe ci de V sur Wi. Soit ki : Wi ---+ V le difféomorphisme inverse. Les assertions
suivantes sont donc équivalentes :
(a) lecouple(x,y)estélémentdeVetfi(x,y) = (xi,z),
(b) le couple (xi, z) est élément de Wi et ki (xi, z) = (x, y).
Mais, d'après la définition de fi,
fi (x, y)= (x, J(x, y)).
L'inverse ki de fi est donc nécessairement de la forme
ki(xi,z) = (xi,k(xi,z)), (xi,z) E Wi,
où k : Wi ---+ F est une application de classe ci. Les deux asse1tions équivalentes (a)
et (b) peuvent donc s'exprimer sous la forme
(c) le couple (x, y) est élément de V et f(x, y)= z,
(d) le couple (x, z) est élément de Wi et k(x, z) =y.
Posons
c = J(a,b),
W = { x E E ; (x, c) E Wi},
et notons h la restriction à W de l'application k. Nous voyons que W est un voisinage
ouvert de a dans E, et que l'application h: W---+ Fest de classe ci. L'équivalence des
assertions (c) et (d) implique alors l'équivalence de
(i) le couple (x, y) est élément de V et J(x, y)= j(a, b),
et de
(ii) le point x est élément de W et y = h(x ).
3.2. Commentaires et remarques
a) Différentielle de l'application h. - Les hypothèses du théorème 3.1 impliquent
h(a) = b.
0
D'autre part, avec les notations employées dans la démonstration de ce théorème, en
utilisant le fait que fi : (X' y) f-t (X' f (X' y)) est un difféomorphisme de classe ci de V
sur Wi, nous voyons que pour tout x E W, f ~ ( x, h( x)) est un isomorphisme de F sur G.
Moyennant cette remarque, il est facile d'obtenir 1' expression de la différentielle h' ( x) de
l'application h en un point x E W; il suffit de différentier les deux membres de l'égalité
f(x,h(x)) = J(a,b).
Puisque le membre de droite est constant, nous obtenons
J~(x, h(x)) + J~(x, h(x)) o h'(x) = 0,
d'où
h'(x) = -(i~(x,h(x)))-i of~(x,h(x)).