§ 3. Le théorème des fonctions implicites
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de déterminant r( cos 2 0 + sin 2 0) = r. La différentielle D f (r, 0) est donc inversible en
tout point (r, 0) de JR 2 vérifiant r -=!= O. D'après le théorème d'inversion locale, tout point
(r0 , 00 ) de JR 2 vérifiant r0 -=/= 0 possède un voisinage ouvert V tel que la restriction
de f à V soit un difféomorphisme de V sur un ouvert f (V) de JR 2 . II est facile de
donner des expressions explicites de V et de (f 1 v) -i. Ainsi par exemple, si r0 > 0
et s'il existe k E Z tel que -7r /2 + 2k7r < 00 < 7r /2 + 2k7r, nous pouvons prendre
V= JO, +oo[ X l - 7r /2 + 2k7r, 7r /2 + 2k7r[, et Ulv ri a pour expression
(x, y) t--t (r = Jx 2 + y 2 0 = arcsin y + 2k7r) ,
Jx2 + y2
en convenant de choisir la détermination de la fonction multivoque arcsin qui prend ses
valeurs dans lintervalle [-7r /2, 7r /2].
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les expressions de V et de (f 1 v) - i dans
les autres cas (lorsque ro < 0, ou lorsque 00 appartient à un intervalle de la forme
[7r /2 + 2k7r, 37r /2 + 2k7r], ou encore lorsque 00 = ±7r /2 + 2k7r, avec k E Z).
b) Autre exemple. - L'exemple qui précède montre qu'il existe des applications de
classe ci dont la différentielle, en chaque point de leur domaine de définition, est un
isomorphisme, et qui ne sont pas des difféomorphismes car elles ne sont pas injectives.
Voici un autre exemple. L'application
f(x,y) = (x 2 -y 2 , 2xy)
a, en chaque point de JR 2 \ { (0, 0) }, une différentielle inversible puisque le déterminant
de la matrice jacobienne est 4( x 2 + y 2 ). Mais l'application f n'est pas injective : les deux
points (x, y) et (-x, -y) ont la même image (x 2 - y 2 , 2xy).
Le lecteur astucieux aura remarqué qu'en identifiant JR 2 à C grâce à l'application qui
associe, à chaque (x, y) E JR 2 , l'élément z = x + iy de C, l'application f considérée
ci-dessus n'est autre que lapplication z t--t z 2 .
3. Le théorème des fonctions implicites
3.1. Théorème des fonctions implicites. -
Soient E, F et G trois espaces de
Banach, U un ouvert de E x F et f une application de classe ci de U dans G,
notée (x, y) t--t f(x, y), (x, y) EU. Soit (a, b) EU. On suppose que la différentielle
partielle f~ (a, b) de l'application f par rapport à sa seconde variable y E F, au
point (a, b), est un isomorphisme de F sur G. Alors il existe un voisinage ouvert
V de (a, b) dans E x F, V C U, un voisinage ouvert W de a dans E, et une
application h de classe ci de W dans F, tels que les assertions suivantes :
(i) le couple (x, y) est élément de V et f(x, y)= f(a, b),
(ii) le point x est élément de W et y= h(x),
soient équivalentes.
Preuve: Soit fi : U ~Ex G l'application
fi(x,y) = (x,f(x,y)).
Elle est de classe ci, puisque ses deux composantes le sont. Sa différentielle au point
(a, b) a pour expression
f{ (a, b)(u, v) = (u, f~(a, b)(u) + f~(a, b)(v)),
(u, v) E Ex F.
C'est un isomorphisme de Ex F sur E x G, dont l'inverse a pour expression
(!{ (a, b) fi ( u, w) = ( u, (!~ (a, b)) -i ( w - f~ (a, b) ( u))) , ( u, w) E E x G .
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de déterminant r( cos 2 0 + sin 2 0) = r. La différentielle D f (r, 0) est donc inversible en
tout point (r, 0) de JR 2 vérifiant r -=!= O. D'après le théorème d'inversion locale, tout point
(r0 , 00 ) de JR 2 vérifiant r0 -=/= 0 possède un voisinage ouvert V tel que la restriction
de f à V soit un difféomorphisme de V sur un ouvert f (V) de JR 2 . II est facile de
donner des expressions explicites de V et de (f 1 v) -i. Ainsi par exemple, si r0 > 0
et s'il existe k E Z tel que -7r /2 + 2k7r < 00 < 7r /2 + 2k7r, nous pouvons prendre
V= JO, +oo[ X l - 7r /2 + 2k7r, 7r /2 + 2k7r[, et Ulv ri a pour expression
(x, y) t--t (r = Jx 2 + y 2 0 = arcsin y + 2k7r) ,
Jx2 + y2
en convenant de choisir la détermination de la fonction multivoque arcsin qui prend ses
valeurs dans lintervalle [-7r /2, 7r /2].
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les expressions de V et de (f 1 v) - i dans
les autres cas (lorsque ro < 0, ou lorsque 00 appartient à un intervalle de la forme
[7r /2 + 2k7r, 37r /2 + 2k7r], ou encore lorsque 00 = ±7r /2 + 2k7r, avec k E Z).
b) Autre exemple. - L'exemple qui précède montre qu'il existe des applications de
classe ci dont la différentielle, en chaque point de leur domaine de définition, est un
isomorphisme, et qui ne sont pas des difféomorphismes car elles ne sont pas injectives.
Voici un autre exemple. L'application
f(x,y) = (x 2 -y 2 , 2xy)
a, en chaque point de JR 2 \ { (0, 0) }, une différentielle inversible puisque le déterminant
de la matrice jacobienne est 4( x 2 + y 2 ). Mais l'application f n'est pas injective : les deux
points (x, y) et (-x, -y) ont la même image (x 2 - y 2 , 2xy).
Le lecteur astucieux aura remarqué qu'en identifiant JR 2 à C grâce à l'application qui
associe, à chaque (x, y) E JR 2 , l'élément z = x + iy de C, l'application f considérée
ci-dessus n'est autre que lapplication z t--t z 2 .
3. Le théorème des fonctions implicites
3.1. Théorème des fonctions implicites. -
Soient E, F et G trois espaces de
Banach, U un ouvert de E x F et f une application de classe ci de U dans G,
notée (x, y) t--t f(x, y), (x, y) EU. Soit (a, b) EU. On suppose que la différentielle
partielle f~ (a, b) de l'application f par rapport à sa seconde variable y E F, au
point (a, b), est un isomorphisme de F sur G. Alors il existe un voisinage ouvert
V de (a, b) dans E x F, V C U, un voisinage ouvert W de a dans E, et une
application h de classe ci de W dans F, tels que les assertions suivantes :
(i) le couple (x, y) est élément de V et f(x, y)= f(a, b),
(ii) le point x est élément de W et y= h(x),
soient équivalentes.
Preuve: Soit fi : U ~Ex G l'application
fi(x,y) = (x,f(x,y)).
Elle est de classe ci, puisque ses deux composantes le sont. Sa différentielle au point
(a, b) a pour expression
f{ (a, b)(u, v) = (u, f~(a, b)(u) + f~(a, b)(v)),
(u, v) E Ex F.
C'est un isomorphisme de Ex F sur E x G, dont l'inverse a pour expression
(!{ (a, b) fi ( u, w) = ( u, (!~ (a, b)) -i ( w - f~ (a, b) ( u))) , ( u, w) E E x G .