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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Preuve: Posons, pour tout x E E,
g(x) = f(a) + J'(a)(x - a),
et, pour tout x E U,
h(x) = f(x) - g(x).
L'application g, composée de la translation x r--+ x - a de E, de l'isomorphisme J'(a)
de E sur F et de la translation y r--+ y+ f(a) de F, est un homéomorphisme de E sur F,
dont l'inverse a pour expression
g- i ( z) = a + (!' (a) r i ( z - f (a)) '
z E F.
Nous avons, pour tous zi et z2 E F,
llg-i(zi) - g-i(z2)ll::; M-illzi - z2ll, avec M = ll(f'(a)riri.
D'autre part, h' (x) = f'(x) - f'(a) et, pour tous x et y E U tels que le segment [x, y] soit
entièrement contenu dans U, nous avons, d'après le théorème des accroissements finis,
llh(x) - h(y)ll ::; sup llJ'(z) - J'(a)ll llx - Yll.
zE[x,y]
Soit k un réel vérifiant 0 < k < M. Puisque f' est continue en a, et que U est un voisinage
de a, il existe p > 0 tel que la boule ouverte V = B (a, p) de centre a et de rayon p soit
contenue dans U et que, pour tout z E V,
llf'(z) - J'(a)ll ::; k.
Par suite (voir par exemple la démonstration de [T.VI.4.4]), f' (z) est inversible pour tout
z E V et, pour tous x et y E V,
llh(x) - h(y) Il ::; kllx - Yll.
Les restrictions à V des applications g eth vérifient les hypothèses du lemme 2.3. D'après
ce lemme, f (V) est un ouvert de F, et f = g + h est un homéomorphisme de V sur f(V).
Mais alors le lemme 2.2 montre que la restriction de f à V est un difféomorphisme de
classe ci de V surf (V).
o
2.5. Corollaire [Forme globale du théorème des fonctions inverses]. - Soit f : U ---> F
une application de classe ci d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un
espace de Banach F. On suppose f injective et telle qu'en tout point x E U, sa
différentielle f'(x) soit un isomorphisme de E sur F. Alors f(U) est un ouvert
de F et f est un difféomorphisme de classe ci de U sur f(U).
Preuve : D'après le théorème 2.4, tout point a de U possède un voisinage ouvert Va contenu
dans U tel que f (Va) soit un ouvert de F et que f soit un difféomorphisme de classe ci de
Va sur son image. Par suite f (U), réunion des ouverts f(Va). a E U, est un ouvert de F.
L'application f, étant injective, est une bijection de U sur f(U). Puisque tout point a E U
possède un voisinage ouvert Va tel que la restriction de f à Va soit un difféomorphisme
de classe ci, f est un difféomorphisme de classe ci de U sur f(U).
o
2.6. Remarques et exemples
a) Coordonnées polaires. - Soit f : IR 2 ---> IR 2 l'application
f: (r, 0) r--+ (x = rcosO, y= rsinO).
La différentielle de cette application, au point (r, 0), identifiée a sa matrice, a pour
expression
Df(r O) = (c?sO -rsinO)
'
smO
rcosO
'
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Preuve: Posons, pour tout x E E,
g(x) = f(a) + J'(a)(x - a),
et, pour tout x E U,
h(x) = f(x) - g(x).
L'application g, composée de la translation x r--+ x - a de E, de l'isomorphisme J'(a)
de E sur F et de la translation y r--+ y+ f(a) de F, est un homéomorphisme de E sur F,
dont l'inverse a pour expression
g- i ( z) = a + (!' (a) r i ( z - f (a)) '
z E F.
Nous avons, pour tous zi et z2 E F,
llg-i(zi) - g-i(z2)ll::; M-illzi - z2ll, avec M = ll(f'(a)riri.
D'autre part, h' (x) = f'(x) - f'(a) et, pour tous x et y E U tels que le segment [x, y] soit
entièrement contenu dans U, nous avons, d'après le théorème des accroissements finis,
llh(x) - h(y)ll ::; sup llJ'(z) - J'(a)ll llx - Yll.
zE[x,y]
Soit k un réel vérifiant 0 < k < M. Puisque f' est continue en a, et que U est un voisinage
de a, il existe p > 0 tel que la boule ouverte V = B (a, p) de centre a et de rayon p soit
contenue dans U et que, pour tout z E V,
llf'(z) - J'(a)ll ::; k.
Par suite (voir par exemple la démonstration de [T.VI.4.4]), f' (z) est inversible pour tout
z E V et, pour tous x et y E V,
llh(x) - h(y) Il ::; kllx - Yll.
Les restrictions à V des applications g eth vérifient les hypothèses du lemme 2.3. D'après
ce lemme, f (V) est un ouvert de F, et f = g + h est un homéomorphisme de V sur f(V).
Mais alors le lemme 2.2 montre que la restriction de f à V est un difféomorphisme de
classe ci de V surf (V).
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2.5. Corollaire [Forme globale du théorème des fonctions inverses]. - Soit f : U ---> F
une application de classe ci d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un
espace de Banach F. On suppose f injective et telle qu'en tout point x E U, sa
différentielle f'(x) soit un isomorphisme de E sur F. Alors f(U) est un ouvert
de F et f est un difféomorphisme de classe ci de U sur f(U).
Preuve : D'après le théorème 2.4, tout point a de U possède un voisinage ouvert Va contenu
dans U tel que f (Va) soit un ouvert de F et que f soit un difféomorphisme de classe ci de
Va sur son image. Par suite f (U), réunion des ouverts f(Va). a E U, est un ouvert de F.
L'application f, étant injective, est une bijection de U sur f(U). Puisque tout point a E U
possède un voisinage ouvert Va tel que la restriction de f à Va soit un difféomorphisme
de classe ci, f est un difféomorphisme de classe ci de U sur f(U).
o
2.6. Remarques et exemples
a) Coordonnées polaires. - Soit f : IR 2 ---> IR 2 l'application
f: (r, 0) r--+ (x = rcosO, y= rsinO).
La différentielle de cette application, au point (r, 0), identifiée a sa matrice, a pour
expression
Df(r O) = (c?sO -rsinO)
'
smO
rcosO
'