§ 2. Le théorème des fonctions inverses
Pour tout x E U vérifiant llx - ail :::; inf ( ; , r), nous avons
llY - h(x) - g(a)ll:::; llY - h(a) - g(a)ll + llh(a) - h(x)ll
:::; ( M - k) inf ( ; , r) + k inf ( ; , r)
:::; M inf ( 1 ~ 1 , r)
:::; p.
43
Par suite, y - h(x) E g(V), et nous pouvons considérer g-i (y - h(x)). Le domaine de
définition de l'application
x f-; cpy(x) = g-i(y- h(x))
contient donc la boule fermée Bp (a, inf ( ; , r)). Pour tout couple (xi, x2) d'éléments
de ce domaine de définition,
llcpy(xi) - cpy(.i:2)ll = llg:--i (y - h(xi)) - g-i (y - h(x2)) Il
1
:::; M llh(xi) - h(x2)ll
k
:::; M llxi - x2 li .
L'application cpy est donc lipschitzienne, de rapport k/ M < 1, indépendant de y. De plus,
elle applique la boule fermée B F (a, inf ( ; , r)) dans elle-même puisque, si x est un
point de cette boule,
llcpy(x) - ajl = llg-i (y - h(x)) - g-i (g(a)) Il
1
:::; M llY - h(x) - g(a)ll
:::; inf (;,r) .
La boule fermée Bp (a, inf ( ; , r)) est complète, puisque c'est une partie fermée de
l'espace de Banach E. Le théorème du point fixe (voir par exemple [T.VI.4.3]) montre
qu'il existe un point unique x de cette boule qui vérifie
cpy(x)=g-i(y-h(x)) =x,
c'est-à-dire
f(x) = g(x) + h(x) =y.
En d'autres termes, le point y appartient à l'image par f de la boule fermée de centre a et
de rayon inf ( ; , r), donc, a fortiori, à l'image par f de la boule fermée de centre a et
de rayon r. L'image par f de la boule fermée de centre a et de rayon r contient donc la
boule fermée de centre f (a) et de rayon ( M - k) inf ( ; , r), donc, a fortiori, la boule
ouverte de même centre et de même rayon.
D
2.4. Théorème d'inversion locale. -
Soit f : U --) F une application de classe ci
d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un espace de Banach F. On suppose
qu'en un point a E U, la différentielle f'(a) de l'application f est un isomorphisme
de E sur F. Alors il existe un voisinage ouvert V de a, V C U tel que W = f(V)
soit un ouvert de F et que la restriction de f à V soit un difféomorphisme de classe
ci de V sur W.
Pour tout x E U vérifiant llx - ail :::; inf ( ; , r), nous avons
llY - h(x) - g(a)ll:::; llY - h(a) - g(a)ll + llh(a) - h(x)ll
:::; ( M - k) inf ( ; , r) + k inf ( ; , r)
:::; M inf ( 1 ~ 1 , r)
:::; p.
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Par suite, y - h(x) E g(V), et nous pouvons considérer g-i (y - h(x)). Le domaine de
définition de l'application
x f-; cpy(x) = g-i(y- h(x))
contient donc la boule fermée Bp (a, inf ( ; , r)). Pour tout couple (xi, x2) d'éléments
de ce domaine de définition,
llcpy(xi) - cpy(.i:2)ll = llg:--i (y - h(xi)) - g-i (y - h(x2)) Il
1
:::; M llh(xi) - h(x2)ll
k
:::; M llxi - x2 li .
L'application cpy est donc lipschitzienne, de rapport k/ M < 1, indépendant de y. De plus,
elle applique la boule fermée B F (a, inf ( ; , r)) dans elle-même puisque, si x est un
point de cette boule,
llcpy(x) - ajl = llg-i (y - h(x)) - g-i (g(a)) Il
1
:::; M llY - h(x) - g(a)ll
:::; inf (;,r) .
La boule fermée Bp (a, inf ( ; , r)) est complète, puisque c'est une partie fermée de
l'espace de Banach E. Le théorème du point fixe (voir par exemple [T.VI.4.3]) montre
qu'il existe un point unique x de cette boule qui vérifie
cpy(x)=g-i(y-h(x)) =x,
c'est-à-dire
f(x) = g(x) + h(x) =y.
En d'autres termes, le point y appartient à l'image par f de la boule fermée de centre a et
de rayon inf ( ; , r), donc, a fortiori, à l'image par f de la boule fermée de centre a et
de rayon r. L'image par f de la boule fermée de centre a et de rayon r contient donc la
boule fermée de centre f (a) et de rayon ( M - k) inf ( ; , r), donc, a fortiori, la boule
ouverte de même centre et de même rayon.
D
2.4. Théorème d'inversion locale. -
Soit f : U --) F une application de classe ci
d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un espace de Banach F. On suppose
qu'en un point a E U, la différentielle f'(a) de l'application f est un isomorphisme
de E sur F. Alors il existe un voisinage ouvert V de a, V C U tel que W = f(V)
soit un ouvert de F et que la restriction de f à V soit un difféomorphisme de classe
ci de V sur W.