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Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Lorsque y tend vers b, x = 1-i(y) tend vers a, puisque 1-i est continue, 'lf;(x - a) tend
vers zéro, et l'expression
Il (f'(a)fill llw(x - a)ll
1 - llw(x - a)ll
tend également vers zéro. La dernière inégalité montre donc que 1- i est différentiable
en b et que sa différentielle en ce point est (f' (a)) - i.
Sil est différentiable sur V, le raisonnement appliqué ci-dessus au point a s'applique en
tout point de V, et montre que 1-i est différentiable sur W.
Sil est de classe ci sur V, la remarque 1.2.b montre que (f- i)' est continue.L'application
1-i est donc de classe ci sur W.
o
2.3. Lemme. -
Soit V un ouvert d'un espace de Banach E, g : V --+ F et
h : V --+ F deux applications de V dans un espace de Banach F, vérifiant les
propriétés suivantes :
(i) l'application g est un homéomorphisme de V sur un ouvert g(V) de F;
(ii) il existe un réel M > 0 tel que, pour tous x et y E V,
llg(x) - g(y) Il ~ Mllx - Yll ;
en d'autres termes, l'application g-i, inverse de g, est lipschitzienne de
rapport M-i;
(iii) l'application h est lipschitzienne de rapport k < M, c'est-à-dire vérifie,
pour tous x et y EV,
llh(x) - h(y) Il S kllx - Yll ·
Soit l = g + h. Alors l(V) est un ouvert de F, et l est un homéomorphisme de
V sur l'ouvert l(V) de F.
Preuve: L'application lest injective, puisqu'elle vérifie, pour tous x et y E V,
lll(x) - l(Y)ll = llg(x) - g(y) - h(x) + h(y)ll
~ llg(x) - g(y)ll - llh(x)- h(y)ll
~ (M-k)llx-yll,
avec M - k > O. Pour prouver que l(V) est un ouvert de E et que l est un
homéomorphisme de V sur l (V), il suffit de prouver quel est une application ouverte.
Mais pour cela, il suffit de montrer que pour tout point a de V, l'image par l de chaque
boule ouverte de centre a contenue dans V contient une boule ouverte de centre l (a).
Toute boule ouverte contenant une boule fermée de rayon non nul et de même centre, il
suffit aussi de montrer que pour tout point a de V et tout réel r > 0 tel que la boule fermée
B p (a, r), de centre a et de rayon r > 0, soit contenue dans V, l ( B p (a, r)) contient une
boule ouverte de centre l (a).
Soit donc a E V, et r > 0 tel que BF(a, r) c V. Posons b = l(a) = g(a) + h(a).
Puisque g est un homéomorphisme, g(V) est un ouvert de F contenant g( a). Il existe donc
p > 0 tel que la boule fermée de centre g(a) et de rayon p soit contenue dans g(V).
Soit y E F vérifiant
11 Y - l (a) 11 S ( M - k) inf ( ~ , r) .
Chapitre II. Fonctions inverses et fonctions implicites
Lorsque y tend vers b, x = 1-i(y) tend vers a, puisque 1-i est continue, 'lf;(x - a) tend
vers zéro, et l'expression
Il (f'(a)fill llw(x - a)ll
1 - llw(x - a)ll
tend également vers zéro. La dernière inégalité montre donc que 1- i est différentiable
en b et que sa différentielle en ce point est (f' (a)) - i.
Sil est différentiable sur V, le raisonnement appliqué ci-dessus au point a s'applique en
tout point de V, et montre que 1-i est différentiable sur W.
Sil est de classe ci sur V, la remarque 1.2.b montre que (f- i)' est continue.L'application
1-i est donc de classe ci sur W.
o
2.3. Lemme. -
Soit V un ouvert d'un espace de Banach E, g : V --+ F et
h : V --+ F deux applications de V dans un espace de Banach F, vérifiant les
propriétés suivantes :
(i) l'application g est un homéomorphisme de V sur un ouvert g(V) de F;
(ii) il existe un réel M > 0 tel que, pour tous x et y E V,
llg(x) - g(y) Il ~ Mllx - Yll ;
en d'autres termes, l'application g-i, inverse de g, est lipschitzienne de
rapport M-i;
(iii) l'application h est lipschitzienne de rapport k < M, c'est-à-dire vérifie,
pour tous x et y EV,
llh(x) - h(y) Il S kllx - Yll ·
Soit l = g + h. Alors l(V) est un ouvert de F, et l est un homéomorphisme de
V sur l'ouvert l(V) de F.
Preuve: L'application lest injective, puisqu'elle vérifie, pour tous x et y E V,
lll(x) - l(Y)ll = llg(x) - g(y) - h(x) + h(y)ll
~ llg(x) - g(y)ll - llh(x)- h(y)ll
~ (M-k)llx-yll,
avec M - k > O. Pour prouver que l(V) est un ouvert de E et que l est un
homéomorphisme de V sur l (V), il suffit de prouver quel est une application ouverte.
Mais pour cela, il suffit de montrer que pour tout point a de V, l'image par l de chaque
boule ouverte de centre a contenue dans V contient une boule ouverte de centre l (a).
Toute boule ouverte contenant une boule fermée de rayon non nul et de même centre, il
suffit aussi de montrer que pour tout point a de V et tout réel r > 0 tel que la boule fermée
B p (a, r), de centre a et de rayon r > 0, soit contenue dans V, l ( B p (a, r)) contient une
boule ouverte de centre l (a).
Soit donc a E V, et r > 0 tel que BF(a, r) c V. Posons b = l(a) = g(a) + h(a).
Puisque g est un homéomorphisme, g(V) est un ouvert de F contenant g( a). Il existe donc
p > 0 tel que la boule fermée de centre g(a) et de rayon p soit contenue dans g(V).
Soit y E F vérifiant
11 Y - l (a) 11 S ( M - k) inf ( ~ , r) .