§ 2. Le théorème des fonctions inverses
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2. Le théorème des fonctions inverses
2.1. Généralités. - Le but essentiel de ce paragraphe est la démonstration du théorème
d'inversion locale (théorème 2.4 ci-après), selon lequel une application Ide classe ci d'un
ouvert U d'un espace de Banach E dans un autre espace de Banach F, dont la différentielle
en un point a de U est un isomorphisme de E sur F, est, lorsqu'on la restreint à un voisinage
ouvert convenablement choisi V de a, V c U, un difféomorphisme de classe ci de ce
voisinage sur son image W = l(V), qui est un ouvert de F. C'est un résultat de caractère
local, puisqu'il ne renseigne que sur la restriction de l'application considérée à un voisinage
du point a. La partie la plus difficile de la démonstration consiste à prouver qu'il existe
un voisinage ouvert V de a, V C U, tel que W = l(V) soit un ouvert de F et que la
restriction de I à V soit un homéomorphisme de V sur W. Elle sera présentée en dernier.
Nous commencerons par établir un résultat de nature plus globale (lemme 2.2 ci-après),
valable dans des hypothèses plus restrictives que le théorème d'inversion locale, puisqu'il
suppose que l(V) est un ouvert de F et que I est un homéomorphisme de V sur l(V).
Nous verrons plus loin (corollaire 2.5) que les conclusions du lemme 2.2 subsistent dans
des hypothèses moins restrictives (l'application I, de classe ci, étant supposée injective).
2.2. Lemme. - Soit I un homéomorphisme d'un ouvert V d'un espace de Banach E
sur un ouvert W = l(V) d'un espace de Banach F. On suppose I différentiable
en un point a E V, et on suppose également que sa différentielle f' (a) en ce
point est un isomorphisme de E sur F. Alors 1-i : W --t V est différentiable en
b = I (a) E W, et sa différentielle en ce point est (!' (a) ri.
Si de plus I est différentiable sur V (resp., est de classe ci sur V), et si sa
différentielle en tout point de V est un isomorphisme de E sur F, 1-i est
différentiable sur w (resp., est de classe ci sur w ).
Preuve: Soit x E V, y= l(x) E W. Nous avons
l(x) - l(a) - J'(a)(x - a)= llx - allcp(x - a), avec
lim cp(x - a) = 0.
x-+a,xEV
Nous en déduisons
x-a = (f'(a)ri(y-b)-llx-all'l/J(x-a), avec 'l/J(x-a) = (f'(a)ri (cp(x-a)).
(*)
Nous en tirons la majoration
llx - all(l - ll'l/J(x - a)ll) :S ll(f'(a)rill llY- bll ·
Mais lorsque x tend vers a, cp(x -a) tend vers zéro, donc 'l/J(x -a) tend aussi vers zéro. En
prenant llx-all assez petit, nous pouvons supposer 111/J(x -a)ll < 1. L'inégalité ci-dessus
peut alors s'écrire
llx-all:S ll(f'(a))-ill lly-bll·
1 - ll'!/J(x - a)ll
Nous tirons également de l'expression ( *) ci-dessus
d'où la majoration
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2. Le théorème des fonctions inverses
2.1. Généralités. - Le but essentiel de ce paragraphe est la démonstration du théorème
d'inversion locale (théorème 2.4 ci-après), selon lequel une application Ide classe ci d'un
ouvert U d'un espace de Banach E dans un autre espace de Banach F, dont la différentielle
en un point a de U est un isomorphisme de E sur F, est, lorsqu'on la restreint à un voisinage
ouvert convenablement choisi V de a, V c U, un difféomorphisme de classe ci de ce
voisinage sur son image W = l(V), qui est un ouvert de F. C'est un résultat de caractère
local, puisqu'il ne renseigne que sur la restriction de l'application considérée à un voisinage
du point a. La partie la plus difficile de la démonstration consiste à prouver qu'il existe
un voisinage ouvert V de a, V C U, tel que W = l(V) soit un ouvert de F et que la
restriction de I à V soit un homéomorphisme de V sur W. Elle sera présentée en dernier.
Nous commencerons par établir un résultat de nature plus globale (lemme 2.2 ci-après),
valable dans des hypothèses plus restrictives que le théorème d'inversion locale, puisqu'il
suppose que l(V) est un ouvert de F et que I est un homéomorphisme de V sur l(V).
Nous verrons plus loin (corollaire 2.5) que les conclusions du lemme 2.2 subsistent dans
des hypothèses moins restrictives (l'application I, de classe ci, étant supposée injective).
2.2. Lemme. - Soit I un homéomorphisme d'un ouvert V d'un espace de Banach E
sur un ouvert W = l(V) d'un espace de Banach F. On suppose I différentiable
en un point a E V, et on suppose également que sa différentielle f' (a) en ce
point est un isomorphisme de E sur F. Alors 1-i : W --t V est différentiable en
b = I (a) E W, et sa différentielle en ce point est (!' (a) ri.
Si de plus I est différentiable sur V (resp., est de classe ci sur V), et si sa
différentielle en tout point de V est un isomorphisme de E sur F, 1-i est
différentiable sur w (resp., est de classe ci sur w ).
Preuve: Soit x E V, y= l(x) E W. Nous avons
l(x) - l(a) - J'(a)(x - a)= llx - allcp(x - a), avec
lim cp(x - a) = 0.
x-+a,xEV
Nous en déduisons
x-a = (f'(a)ri(y-b)-llx-all'l/J(x-a), avec 'l/J(x-a) = (f'(a)ri (cp(x-a)).
(*)
Nous en tirons la majoration
llx - all(l - ll'l/J(x - a)ll) :S ll(f'(a)rill llY- bll ·
Mais lorsque x tend vers a, cp(x -a) tend vers zéro, donc 'l/J(x -a) tend aussi vers zéro. En
prenant llx-all assez petit, nous pouvons supposer 111/J(x -a)ll < 1. L'inégalité ci-dessus
peut alors s'écrire
llx-all:S ll(f'(a))-ill lly-bll·
1 - ll'!/J(x - a)ll
Nous tirons également de l'expression ( *) ci-dessus
d'où la majoration