Chapitre Il
Fonctions inverses et fonctions implicites
Nous établissons dans le présent chapitre le très important théorème des fonctions inverses,
dont nous donnons deux formes, une locale (théorème d'inversion locale 2.4), et une
autre globale (corollaire 2.5). Nous en déduisons le théorème des fonctions implicites, lui
aussi très important. Ces théorèmes sont extrêmement employés, tant en Analyse qu'en
Géométrie différentielle.
1. Difféomorphismes de classe ci
1.1. Définition. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E
et f une application de U dans F. On dit que f est un difféomorphisme de U sur
un ouvert V de F, si I est différentiable sur U, est une bijection de U sur V, et
si l'application réciproque 1-i : V~ E est différentiable sur V. On dit que I est
un difféomorphisme de classe ci si I est un difféomorphisme, et si I et 1-i sont de
classe ci.
1.2. Remarques
a) J?ifféomorphismes et homéomorphismes. - Un difféomorphisme de U sur V est
évidemment un homéomorphisme de U sur V. Mais un homéomorphisme différentiable
d'un ouvert U de E sur un ouvert V de F n'est pas nécessairement un difféomorphisme.
Ainsi par exemple, l'application de IR sur lui-même x t--t I (x) = x 3 , qui est différentiable,
est un homéomorphisme. Cependant, lapplication réciproque y t--t 1- i (y) = y i/ 3 n'est
pas différentiable à l'origine.
b) Différentielle de l'inverse d'un difféomorphisme. - Soient E et F deux espaces de
Banach, et I un difféomorphisme d'un ouvert U de E sur un ouvert V de F. Nous avons
1-i o I = idu,
Io 1-i = idv .
En différentiant ces relations, et en utilisant la règle de différentiation des applications
composées, nous voyons que pour tout point x E U,
u-i)'(f(x)) O l'(x) = idE,
J'(x) O u-i)'(f(x)) = idF.
Ceci exprime que pour tout x E U, f' ( x) est un isomorphisme de E sur F, dont l'inverse
est u-iy(f(x)).
Supposons de plus Ide classe ci, c'est-à-dire f' : U ~ L(E, F) continue. Alors 1-i
est aussi de classe ci, donc I est un difféomorphisme de classe ci. En effet, (f- i )' :
V ~ L(F, E) est composée des applications suivantes: l'application 1-i : V ~ U, qui
est continue; l'application I' : U ~ L(E, F), qui est continue puisque I est de classe
ci; l'application : Isom(E, F) ~ Isom(F, E), cp t--t cp-i, qui est continue (voir par
exemple [T.IX.4.4]). Ceci montre que (f-i )'est continue.
Fonctions inverses et fonctions implicites
Nous établissons dans le présent chapitre le très important théorème des fonctions inverses,
dont nous donnons deux formes, une locale (théorème d'inversion locale 2.4), et une
autre globale (corollaire 2.5). Nous en déduisons le théorème des fonctions implicites, lui
aussi très important. Ces théorèmes sont extrêmement employés, tant en Analyse qu'en
Géométrie différentielle.
1. Difféomorphismes de classe ci
1.1. Définition. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E
et f une application de U dans F. On dit que f est un difféomorphisme de U sur
un ouvert V de F, si I est différentiable sur U, est une bijection de U sur V, et
si l'application réciproque 1-i : V~ E est différentiable sur V. On dit que I est
un difféomorphisme de classe ci si I est un difféomorphisme, et si I et 1-i sont de
classe ci.
1.2. Remarques
a) J?ifféomorphismes et homéomorphismes. - Un difféomorphisme de U sur V est
évidemment un homéomorphisme de U sur V. Mais un homéomorphisme différentiable
d'un ouvert U de E sur un ouvert V de F n'est pas nécessairement un difféomorphisme.
Ainsi par exemple, l'application de IR sur lui-même x t--t I (x) = x 3 , qui est différentiable,
est un homéomorphisme. Cependant, lapplication réciproque y t--t 1- i (y) = y i/ 3 n'est
pas différentiable à l'origine.
b) Différentielle de l'inverse d'un difféomorphisme. - Soient E et F deux espaces de
Banach, et I un difféomorphisme d'un ouvert U de E sur un ouvert V de F. Nous avons
1-i o I = idu,
Io 1-i = idv .
En différentiant ces relations, et en utilisant la règle de différentiation des applications
composées, nous voyons que pour tout point x E U,
u-i)'(f(x)) O l'(x) = idE,
J'(x) O u-i)'(f(x)) = idF.
Ceci exprime que pour tout x E U, f' ( x) est un isomorphisme de E sur F, dont l'inverse
est u-iy(f(x)).
Supposons de plus Ide classe ci, c'est-à-dire f' : U ~ L(E, F) continue. Alors 1-i
est aussi de classe ci, donc I est un difféomorphisme de classe ci. En effet, (f- i )' :
V ~ L(F, E) est composée des applications suivantes: l'application 1-i : V ~ U, qui
est continue; l'application I' : U ~ L(E, F), qui est continue puisque I est de classe
ci; l'application : Isom(E, F) ~ Isom(F, E), cp t--t cp-i, qui est continue (voir par
exemple [T.IX.4.4]). Ceci montre que (f-i )'est continue.